Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

Representa conjuntamente, en el intervalo de abscisas $[-2,3]$, las gráficas de las funciones f y g dadas por

$f(x)=x^{2}+2x \qquad \text{y} \qquad g(x)=5-2x.$ (1.5 puntos)

¿Qué punto a hace que sea continua la función

$h(x)=\begin{cases} f(x) & \text{si } -2\leq x<a, \\ g(x) & \text{si } a\leq x\leq 3 \end{cases}$?

Resalta la gráfica de h en el dibujo anterior. ¿Cuáles son el máximo y el mínimo de los valores de h en $[-2,3]$? (1 punto)

$\textbf{Representa conjuntamente, en el intervalo de abscisas } \boldsymbol{[-2,3]}\textbf{, las gráficas de las funciones f y g. (1.5 puntos)}$

La primera es una parábola con las ramas hacia arriba. Corta al eje de abscisas donde se anula y tiene el vértice en el punto medio de esos dos cortes:

$x^{2}+2x=0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=-2 \end{cases}$

$x_{V}=\dfrac{-2}{2\cdot 1}=-1 \Rightarrow V(-1,-1)$

La segunda es una recta; basta con dos puntos, que se toman en los extremos del intervalo:

$g(-2)=9;\qquad g(3)=-1$

Las dos gráficas se cortan donde toman el mismo valor:

$x^{2}+2x=5-2x \Rightarrow x^{2}+4x-5=0 \Rightarrow x=\dfrac{-4\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-5 \end{cases}$

Se descarta $x=-5$ por caer fuera del intervalo de estudio.

$x=1 \Rightarrow y=3 \Rightarrow P(1,3)$



$\textbf{¿Qué punto a hace que sea continua la función h? Resalta la gráfica de h en el dibujo anterior. ¿Cuáles son el máximo y el mínimo de los valores de h en } \boldsymbol{[-2,3]}\textbf{? (1 punto)}$

Dentro de cada tramo la función es polinómica y por tanto continua; el único punto conflictivo es $x=a$, donde cambia la definición. Para que haya continuidad los dos límites laterales deben coincidir con el valor de la función:

$\lim_{x\to a^{-}}h(x)=f(a);\qquad \lim_{x\to a^{+}}h(x)=g(a)=h(a)$

$f(a)=g(a) \Rightarrow a^{2}+2a=5-2a$

Es la misma ecuación de antes, y de sus dos soluciones solo $a=1$ pertenece al intervalo.

$a=1$

La gráfica de $h$ es entonces el trozo de parábola desde $x=-2$ hasta $x=1$ y el trozo de recta desde $x=1$ hasta $x=3$; los dos trozos empalman en $P(1,3)$ sin salto.



Para los extremos absolutos se comparan los valores en los bordes del intervalo, en el vértice de la parábola y en el punto de empalme, que son los únicos candidatos:

$h(-2)=0;\quad h(-1)=-1;\quad h(1)=3;\quad h(3)=-1$

En $[-2,3]$ la función $h$ alcanza su valor máximo, 3, en $x=1$, y su valor mínimo, $-1$, en dos puntos distintos: el vértice de la parábola $x=-1$ y el extremo derecho $x=3$.