Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un orfebre emplea 2 horas para fabricar un anillo, y tarda 3 horas en hacer un brazalete. El material de cada anillo le cuesta 40 euros, y el del brazalete 320 euros. A cambio, por cada anillo gana 10 euros y por cada brazalete gana 90 euros.

Si no quiere dedicar más de 50 horas a su trabajo semanal y no puede gastar en material más de 2560 euros, ¿cuántos anillos y brazaletes en una semana le reportarán el máximo beneficio? (1.75 puntos)

¿Cambiaría la respuesta si ya tuviera apalabrados ocho anillos? ¿Cuánto tiempo trabaja en total en ambos casos en la fabricación de anillos y brazaletes? (0.75 puntos)

$\textbf{Si no quiere dedicar más de 50 horas a su trabajo semanal y no puede gastar en material más de 2560 euros, ¿cuántos anillos y brazaletes en una semana le reportarán el máximo beneficio? (1.75 puntos)}$

Se llama $x$ al número de anillos e $y$ al de brazaletes que fabrica en una semana. Se ordena en una tabla la información del enunciado.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Material (euros)}$	$\text{Beneficio (euros)}$
Anillos $(x)$	$2x$	$40x$	$10x$
Brazaletes $(y)$	$3y$	$320y$	$90y$
Disponible	$50$	$2560$	$$

$\text{Maximizar } B(x,y)=10x+90y \text{ sujeto a } \begin{cases} 2x+3y\leq 50 \\ 40x+320y\leq 2560 \\ x\geq 0,\ y\geq 0 \end{cases}$

La segunda restricción se simplifica dividiendo entre 40:

$40x+320y\leq 2560 \Rightarrow x+8y\leq 64$

El origen cumple las dos desigualdades, así que la región factible es el cuadrilátero coloreado en azul.



Los vértices se obtienen cortando las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} y=0 \\ 2x+3y=50 \end{cases} \Rightarrow A(25,0);\qquad \begin{cases} x=0 \\ x+8y=64 \end{cases} \Rightarrow C(0,8)$

$\begin{cases} 2x+3y=50 \\ x+8y=64 \end{cases} \Rightarrow x=64-8y \Rightarrow 128-16y+3y=50 \Rightarrow y=6 \Rightarrow B(16,6)$

Se valora el beneficio en los cuatro vértices:

$B(0,0)=0;\quad B(25,0)=250;\quad B(16,6)=160+540=700;\quad B(0,8)=720$

El máximo beneficio semanal, de 720 euros, se obtiene fabricando 8 brazaletes y ningún anillo.

$\textbf{¿Cambiaría la respuesta si ya tuviera apalabrados ocho anillos? ¿Cuánto tiempo trabaja en total en ambos casos en la fabricación de anillos y brazaletes? (0.75 puntos)}$

Tener ocho anillos apalabrados añade la restricción $x\geq 8$, que recorta la región por la izquierda y hace desaparecer el vértice $C(0,8)$, justo el que daba el óptimo.



Los vértices nuevos son los cortes de la recta $x=8$ con los ejes y con las otras restricciones:

$\begin{cases} x=8 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow D(8,0);\qquad \begin{cases} x=8 \\ x+8y=64 \end{cases} \Rightarrow 8y=56 \Rightarrow E(8,7)$

$B(8,0)=80;\quad B(25,0)=250;\quad B(16,6)=700;\quad B(8,7)=80+630=710$

Sí cambia la respuesta: ahora conviene fabricar 8 anillos y 7 brazaletes, con un beneficio de 710 euros, diez menos que antes.

El tiempo total empleado en cada caso es

$2\cdot 0+3\cdot 8=24 \text{ horas};\qquad 2\cdot 8+3\cdot 7=16+21=37 \text{ horas}$

En el primer caso trabaja 24 horas y en el segundo 37, en ambos por debajo de las 50 disponibles: lo que limita al orfebre no es el tiempo, sino el dinero que puede gastar en material.