Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Justifica que la siguiente matriz es regular, y calcula su matriz inversa: (2.5 puntos)

$\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{Justifica que la siguiente matriz es regular, y calcula su matriz inversa: (2.5 puntos)}$

Una matriz cuadrada es regular cuando su determinante no es nulo, así que se empieza por calcularlo desarrollando por la primera fila.

$|M|=\begin{vmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=1(1-1)+1(-1-1)-1(1+1)$

$|M|=0-2-2=-4\neq 0$

La matriz es regular y, por tanto, tiene inversa. Se calcula por el método de los adjuntos.

$\text{Adj}(M)=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

La matriz de adjuntos resulta simétrica, de modo que coincide con su traspuesta y el último paso es solo dividir por el determinante:

$M^{-1}=\dfrac{1}{|M|}\left(\text{Adj}(M)\right)^{t}=\dfrac{1}{-4}\begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

$M^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado multiplicando:

$M\cdot M^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=I$

La matriz es regular porque su determinante vale $-4$, y su inversa es $M^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \end{pmatrix}$.