Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

¿Para qué valores de a tiene soluciones el siguiente sistema? (0.75 puntos)

$\begin{cases} x+y+2z=12 \\ 2x-y-z=12 \\ 2x+2y+a\,z=12 \end{cases}$

Resuelve el sistema en el caso $a=0$. (1.25 puntos)

Si para una valor a el sistema es incompatible, y sustituimos los términos independientes $(12,12,12)$ por $(12,12,24)$, ¿cómo clasificaríamos el sistema resultante? (0.5 puntos)

$\textbf{¿Para qué valores de a tiene soluciones el siguiente sistema? (0.75 puntos)}$

Se estudia el sistema con el teorema de Rouché-Frobenius. Lo primero es el determinante de la matriz de coeficientes, que se desarrolla por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 \\ 2 & 2 & a \end{vmatrix}=1(-a+2)-1(2a+2)+2(4+2)$

$|A|=-a+2-2a-2+12=12-3a$

$|A|=0 \Rightarrow a=4$

Si $a\neq 4$ el determinante no es nulo, los rangos valen 3 y el sistema es compatible determinado.

Queda por ver qué ocurre en $a=4$. Ahí la tercera fila de la matriz de coeficientes es el doble de la primera:

$2\cdot(1,1,2)=(2,2,4)$

pero el término independiente no sigue esa proporción, porque $2\cdot 12=24\neq 12$. Las dos ecuaciones correspondientes,

$\begin{cases} x+y+2z=12 \\ 2x+2y+4z=12 \end{cases}$

son contradictorias, de modo que el sistema es incompatible.

El sistema tiene soluciones para todo valor real de $a$ salvo $a=4$, y en todos esos casos la solución es única.

$\textbf{Resuelve el sistema en el caso } \boldsymbol{a=0}\textbf{. (1.25 puntos)}$

Para $a=0$ el determinante vale $12\neq 0$ y el sistema es compatible determinado. La tercera ecuación queda especialmente simple:

$2x+2y=12 \Rightarrow x+y=6$

Se lleva a la primera, que contiene también $x+y$:

$6+2z=12 \Rightarrow z=3$

Y con ese valor, la segunda ecuación se reduce a un sistema de dos incógnitas:

$2x-y-3=12 \Rightarrow 2x-y=15$

$\begin{cases} x+y=6 \\ 2x-y=15 \end{cases} \Rightarrow 3x=21 \Rightarrow x=7 \Rightarrow y=-1$

Se comprueba en las tres ecuaciones: $7-1+6=12$; $14+1-3=12$; $14-2=12$.

La solución para $a=0$ es $x=7$, $y=-1$, $z=3$.

$\textbf{Si para una valor a el sistema es incompatible, y sustituimos los términos independientes } \boldsymbol{(12,12,12)}\textbf{ por } \boldsymbol{(12,12,24)}\textbf{, ¿cómo clasificaríamos el sistema resultante? (0.5 puntos)}$

El único valor que hace incompatible el sistema es $a=4$, y lo que fallaba era precisamente el término independiente de la tercera ecuación. Con el nuevo vector, la tercera fila de la matriz ampliada pasa a ser el doble exacto de la primera:

$2\cdot(1,1,2\mid 12)=(2,2,4\mid 24)$

La tercera ecuación es entonces redundante y se puede eliminar. Quedan dos ecuaciones independientes con tres incógnitas:

$\text{rg}(A)=\text{rg}(A^{*})=2<3=\text{número de incógnitas}$

El sistema resultante es compatible indeterminado, con un grado de libertad: tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.