Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Nuestra casa está en la ladera de un monte, justo donde comienza el bosque de pinos. Un día medimos el que tenemos más cerca, y resultó tener una altura de 17.26 metros. Le preguntamos a nuestro amigo guardabosque si es un valor representativo, y nos dijo:

«Qué casualidad, hemos calculado un intervalo al 90 % de confianza para la media de la altura, y el extremo superior es 17.26 m. Hemos supuesto que la altura tiene distribución normal y que la desviación típica es 6.93, la habitual en estas repoblaciones, y hemos medido 100 árboles para calcularlo».

¿Cuál fue el promedio de la altura de los pinos de la muestra, y qué intervalo de confianza se obtuvo por tanto? (2.5 puntos)

$\textbf{¿Cuál fue el promedio de la altura de los pinos de la muestra, y qué intervalo de confianza se obtuvo por tanto? (2.5 puntos)}$

De lo que cuenta el guardabosque se leen todos los datos del problema: la población es normal con $\sigma=6{,}93$ m, la muestra tiene $n=100$ árboles, el nivel de confianza es del 90 % y el extremo superior del intervalo vale 17,26 m.

El intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

de modo que el extremo superior es la media muestral más el error. Se calcula primero el valor crítico del 90 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}90 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}95 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}645$



$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}645\cdot\dfrac{6{,}93}{\sqrt{100}}=1{,}645\cdot 0{,}693$

$E\approx 1{,}14$

Ahora se despeja la media muestral del extremo superior:

$\overline{x}+E=17{,}26 \Rightarrow \overline{x}=17{,}26-1{,}14=16{,}12$

El promedio de la altura de los cien pinos medidos fue de 16,12 metros, y el intervalo de confianza al 90 % obtenido es $(16{,}12;\ 17{,}26)$ metros. El pino que hay junto a la casa, de 17,26 m, queda justo en el borde superior del intervalo: es un ejemplar alto, pero no descabellado para esa repoblación.