Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Una variable aleatoria X tiene distribución normal de media 10 y desviación típica 4. Tomaremos una muestra de cierto número n de valores independientes de X, y llamaremos $\overline{X}$ a su valor promedio. El valor n cumple que

$P(X<15)=P(\overline{X}<11).$

i) ¿Cuánto vale dicha probabilidad? (1 punto)
ii) ¿Qué número es n? (1.25 puntos)
iii) ¿Hay algún valor a para el que $P(\overline{X}<a)$ no dependa de n? (0.25 puntos)

La variable de partida y la media muestral son las dos normales, pero con distinta desviación típica:

$X\sim N(10,\ 4);\qquad \overline{X}\sim N\left(10,\dfrac{4}{\sqrt{n}}\right)$

$\textbf{i) ¿Cuánto vale dicha probabilidad? (1 punto)}$

La igualdad del enunciado dice que las dos probabilidades coinciden, así que basta calcular una de ellas, y la de $X$ no depende de $n$. Se tipifica:

$P(X<15)=P\left(Z<\dfrac{15-10}{4}\right)=P(Z<1{,}25)$

$P(Z<1{,}25)=0{,}8944$



La probabilidad común vale $0{,}8944$.

$\textbf{ii) ¿Qué número es n? (1.25 puntos)}$

Se tipifica ahora la media muestral y se impone que su valor tipificado sea el mismo, porque la función de distribución de la normal tipificada es estrictamente creciente y a áreas iguales corresponden abscisas iguales.

$P\left(\overline{X}<11\right)=P\left(Z<\dfrac{11-10}{\frac{4}{\sqrt{n}}}\right)=P\left(Z<\dfrac{\sqrt{n}}{4}\right)$

$\dfrac{\sqrt{n}}{4}=1{,}25 \Rightarrow \sqrt{n}=5 \Rightarrow n=25$

El tamaño de la muestra es $n=25$. Con él la media muestral se distribuye según $N(10;\ 0{,}8)$.

$\textbf{iii) ¿Hay algún valor a para el que } \boldsymbol{P(\overline{X}<a)}\textbf{ no dependa de n? (0.25 puntos)}$

Sí: el propio valor de la media. Cualquiera que sea $n$, la distribución de $\overline{X}$ está centrada en 10 y es simétrica respecto de ese valor, de modo que deja a su izquierda la mitad del área.

$a=10 \Rightarrow P\left(\overline{X}<10\right)=P(Z<0)=0{,}5$

El único valor con esa propiedad es $a=10$: para cualquier otro, al crecer $n$ la campana se estrecha en torno a la media y el área acumulada cambia.