Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Basándose en encuestas, se considera, para la gente de La Rioja, que los sucesos

A = «le gusta pasar sus vacaciones en la playa»;
B = «le gusta pasar sus vacaciones en la montaña»; y
C = «no le gustan ni la playa ni la montaña para sus vacaciones»

tienen probabilidades

$P(A)=0{.}75, \qquad P(B)=0{.}5, \qquad \text{y} \qquad P(C)=0{.}1.$

Se entiende que «le gusta» y «no le gusta» son en cada caso complementarios: cualquier persona respondería o bien «sí» o bien «no» a las preguntas de si le gustan playa o montaña. (2.5 puntos)

i) ¿Cuánto valen $P(A\cup B)$ y $P(A\cap B)$?
ii) ¿Son A y B sucesos independientes?
iii) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona le guste la montaña si sabemos que para ella no sucede C?

El suceso $C$ es «no le gustan ni la playa ni la montaña», es decir, no le gusta la playa y tampoco la montaña. Por las leyes de De Morgan es el contrario de la unión:

$C=\overline{A}\cap\overline{B}=\overline{A\cup B}$

$\textbf{i) ¿Cuánto valen } \boldsymbol{P(A\cup B)}\textbf{ y } \boldsymbol{P(A\cap B)}\textbf{?}$

La probabilidad de la unión es la del contrario de $C$:

$P(A\cup B)=1-P(C)=1-0{,}1=0{,}9$

Y con ella se despeja la intersección en la fórmula de la probabilidad de la unión:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

$0{,}9=0{,}75+0{,}5-P(A\cap B)$

$P(A\cap B)=1{,}25-0{,}9=0{,}35$

Con estos datos se reparten las cuatro zonas del diagrama: solo playa $0{,}4$, ambas $0{,}35$, solo montaña $0{,}15$ y ninguna $0{,}1$.



$\textbf{ii) ¿Son A y B sucesos independientes?}$

Dos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección coincide con el producto de sus probabilidades. Se comparan los dos valores.

$P(A)\cdot P(B)=0{,}75\cdot 0{,}5=0{,}375$

$P(A\cap B)=0{,}35\neq 0{,}375$

Los sucesos $A$ y $B$ no son independientes. Al ser la intersección menor que el producto, saber que a alguien le gusta la playa hace algo menos probable que también le guste la montaña.

$\textbf{iii) ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona le guste la montaña si sabemos que para ella no sucede C?}$

Que no ocurra $C$ es que ocurra $A\cup B$. Como $B$ está contenido en la unión, la intersección de los dos sucesos es el propio $B$:

$B\subset A\cup B \Rightarrow P\left(B\cap\overline{C}\right)=P(B)=0{,}5$

$P\left(B/\overline{C}\right)=\dfrac{P\left(B\cap\overline{C}\right)}{P\left(\overline{C}\right)}=\dfrac{0{,}5}{0{,}9}$

$P\left(B/\overline{C}\right)=\dfrac{5}{9}\approx 0{,}5556$

Sabiendo que a la persona le gusta al menos uno de los dos destinos, la probabilidad de que le guste la montaña es $\frac{5}{9}\approx 0{,}5556$, algo más que el 0,5 de partida.