Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

La recta $y=5-2x$ delimita un triángulo rectángulo con los ejes de coordenadas. Calcula sus vértices. (0.5 puntos)

La parábola $y=x^{2}+2x$ divide al triángulo anterior en dos regiones. Dibújalas señalando los puntos de corte, y halla el área de ambas. (2 puntos)

$\textbf{La recta } \boldsymbol{y=5-2x}\textbf{ delimita un triángulo rectángulo con los ejes de coordenadas. Calcula sus vértices. (0.5 puntos)}$

Los tres vértices son los cortes de las tres rectas dos a dos: los dos ejes se cortan en el origen y cada uno corta a la recta dada en un punto.

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

$y=0 \Rightarrow 5-2x=0 \Rightarrow x=\dfrac{5}{2} \Rightarrow A\left(\dfrac{5}{2},0\right)$

$x=0 \Rightarrow y=5 \Rightarrow B(0,5)$

Los vértices son $O(0,0)$, $A\left(\frac{5}{2},0\right)$ y $B(0,5)$. El triángulo es rectángulo en el origen, y su área vale

$\mathcal{A}_{T}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{2}\cdot 5=\dfrac{25}{4}$

$\textbf{La parábola } \boldsymbol{y=x^{2}+2x}\textbf{ divide al triángulo anterior en dos regiones. Dibújalas señalando los puntos de corte, y halla el área de ambas. (2 puntos)}$

La parábola tiene las ramas hacia arriba y corta al eje de abscisas donde se anula:

$x^{2}+2x=0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=-2 \end{cases}$

Dentro del triángulo solo interesa el corte $x=0$, que es el origen. Se buscan ahora los puntos comunes con la recta:

$x^{2}+2x=5-2x \Rightarrow x^{2}+4x-5=0$

$x=\dfrac{-4\pm\sqrt{16+20}}{2}=\dfrac{-4\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-5 \end{cases}$

Se descarta $x=-5$ por caer fuera del triángulo, cuyos puntos tienen $x\geq 0$.

$x=1 \Rightarrow y=1+2=3 \Rightarrow P(1,3)$

La parábola entra en el triángulo por el origen y sale por $P(1,3)$, partiéndolo en dos recintos.



El recinto superior está limitado por arriba por la recta y por abajo por la parábola, entre $x=0$ y $x=1$:

$\mathcal{A}_1=\int_{0}^{1}\left[(5-2x)-(x^{2}+2x)\right]dx=\int_{0}^{1}\left(5-4x-x^{2}\right)dx$

$=\left[5x-2x^{2}-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}=5-2-\dfrac{1}{3}$

$\mathcal{A}_1=\dfrac{8}{3}$

El área del otro recinto se obtiene restando del área total del triángulo, que ya se conoce:

$\mathcal{A}_2=\dfrac{25}{4}-\dfrac{8}{3}=\dfrac{75-32}{12}=\dfrac{43}{12}$

El recinto que queda entre la recta y la parábola mide $\frac{8}{3}\approx 2{,}67$ unidades de área, y el que queda bajo la parábola y la recta, $\frac{43}{12}\approx 3{,}58$ unidades de área. La suma es $\frac{25}{4}$, el área del triángulo.