Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2023

En la figura, x es un valor tal que $6\leq x\leq 19$, y algunos segmentos miden lo que se indica.



Justifica debidamente que el área $A(x)$ del polígono dibujado (sin contar el triángulo inferior) viene dada por

$A(x)=18+22x-x^{2}.$

¿Para qué valor de x dicha área es máxima? ¿Para cuál es mínima? Dibuja la figura cuando x es el valor de área mínima. (2.5 puntos)

$\textbf{Justifica debidamente que el área } \boldsymbol{A(x)}\textbf{ del polígono dibujado (sin contar el triángulo inferior) viene dada por } \boldsymbol{A(x)=18+22x-x^{2}.}$

Se completa la figura hasta un rectángulo y se le descuenta el triángulo que sobra, que es lo que sugiere el trazo discontinuo del dibujo.

La base del rectángulo es el lado superior, que mide $x$. La altura es el lado derecho completo, suma de los dos segmentos marcados:

$h=(19-x)+6=25-x$

$\mathcal{A}_{\text{rect}}=x(25-x)$

El triángulo rectángulo que se descuenta tiene por catetos el segmento discontinuo horizontal y el vertical de 6:

$\text{base}=x-6;\qquad \text{altura}=6$

$\mathcal{A}_{\text{tri}}=\dfrac{(x-6)\cdot 6}{2}=3(x-6)=3x-18$

Restando:

$A(x)=x(25-x)-(3x-18)=25x-x^{2}-3x+18$

$A(x)=18+22x-x^{2}$

que es la expresión del enunciado.

$\textbf{¿Para qué valor de x dicha área es máxima? ¿Para cuál es mínima? Dibuja la figura cuando x es el valor de área mínima. (2.5 puntos)}$

La función es una parábola con el coeficiente principal negativo, y hay que estudiarla en el intervalo cerrado $[6,19]$ que fija el enunciado. Se deriva y se iguala a cero.

$A'(x)=22-2x$

$A'(x)=0 \Rightarrow x=11$

$A''(x)=-2<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=11$ hay un máximo, y el punto pertenece al intervalo.

$A(11)=18+242-121=139$

El mínimo, en cambio, tiene que estar en uno de los extremos del intervalo, porque no hay más puntos críticos:

$A(6)=18+132-36=114;\qquad A(19)=18+418-361=75$

El área es máxima para $x=11$, y vale 139; es mínima para $x=19$, y vale 75.

Cuando $x=19$ el lado derecho superior mide $19-19=0$ y desaparece: la figura se reduce a un trapecio de bases 19 y 6 y altura 6.



Se comprueba el área con la fórmula del trapecio:

$\mathcal{A}=\dfrac{(19+6)\cdot 6}{2}=75$