Ejercicio resuelto de Límites y continuidad · Matemáticas CCSS

La futura compañía Rioja-Rail seguirá una estricta política de compromiso de puntualidad: si el retraso de un tren de cercanías es igual a un tiempo t (en minutos), y el importe pagado por el trayecto es L (en cualquier criptomoneda) se reintegrará en la cuenta de usuario una cantidad dada por

$r(t)=\begin{cases} 0 & \text{si } t<10, \\ a\,t+b & \text{si } 10<t<20, \\ L/2 & \text{si } t=20, \\ c\,t+d & \text{si } 20<t<60, \\ L & \text{si } t\geq 60. \end{cases}$

Sabiendo que r es una función continua, dibuja su gráfica y averigua los valores de a, b, c y d. (2.5 puntos)

$\textbf{Sabiendo que r es una función continua, dibuja su gráfica y averigua los valores de a, b, c y d. (2.5 puntos)}$

La función está definida a trozos por cinco expresiones. En los tres puntos donde cambia la definición —$t=10$, $t=20$ y $t=60$— la continuidad obliga a que los límites laterales coincidan, y esas son las cuatro condiciones que determinan los parámetros.

En $t=10$ el reintegro pasa de ser nulo a la primera recta:

$\lim_{t\to 10^{-}}r(t)=0;\qquad \lim_{t\to 10^{+}}r(t)=10a+b$

$10a+b=0 \Rightarrow b=-10a$

En $t=20$ el enunciado fija además el valor $r(20)=L/2$, al que deben tender las dos ramas:

$20a+b=\dfrac{L}{2};\qquad 20c+d=\dfrac{L}{2}$

De la primera, sustituyendo $b=-10a$:

$20a-10a=\dfrac{L}{2} \Rightarrow 10a=\dfrac{L}{2} \Rightarrow a=\dfrac{L}{20}$

$b=-10\cdot\dfrac{L}{20}=-\dfrac{L}{2}$

En $t=60$ la segunda recta empalma con el valor constante $L$:

$60c+d=L$

Se resuelve el sistema formado por esta ecuación y la de $t=20$ restando la primera de la segunda:

$\begin{cases} 20c+d=\dfrac{L}{2} \\ 60c+d=L \end{cases} \Rightarrow 40c=\dfrac{L}{2} \Rightarrow c=\dfrac{L}{80}$

$d=\dfrac{L}{2}-20\cdot\dfrac{L}{80}=\dfrac{L}{2}-\dfrac{L}{4}=\dfrac{L}{4}$

Con estos valores la gráfica es una poligonal: vale 0 hasta el minuto 10, sube en línea recta hasta la mitad del importe en el minuto 20, sigue subiendo con menos pendiente hasta devolver el importe completo en el minuto 60, y a partir de ahí se mantiene constante.



Los valores pedidos son $a=\dfrac{L}{20}$, $b=-\dfrac{L}{2}$, $c=\dfrac{L}{80}$ y $d=\dfrac{L}{4}$.