Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Dibuja la región del plano formada por los puntos $(x,y)$ tales que (1 punto)

$0\leq y, \quad 0\leq x,$
$x+y\leq 4,$
$x+2y\leq 6, \quad \text{y}$
$x\leq 3.$

Estudia respectivamente en qué puntos de dicha región toman su valor máximo las siguientes funciones: (1.5 puntos)

i) $x+\dfrac{1}{2}y$
ii) $x+\dfrac{3}{2}y$
iii) $x+3y$

$\textbf{Dibuja la región del plano formada por los puntos } \boldsymbol{(x,y)}\textbf{ tales que (1 punto)}$

Cada desigualdad define un semiplano, y la región pedida es la intersección de los cinco. Se dibuja la recta frontera de cada una a partir de dos de sus puntos:

$x+y=4$	$x+2y=6$
$(4,0)$	$(6,0)$
$(0,4)$	$(0,3)$

El origen cumple las cinco desigualdades, de modo que los semiplanos válidos son los que lo contienen. La región es el pentágono coloreado en azul.



Sus vértices son los cortes de las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0);\qquad \begin{cases} y=0 \\ x=3 \end{cases} \Rightarrow A(3,0)$

$\begin{cases} x=3 \\ x+y=4 \end{cases} \Rightarrow B(3,1);\qquad \begin{cases} x+y=4 \\ x+2y=6 \end{cases} \Rightarrow y=2 \Rightarrow C(2,2)$

$\begin{cases} x+2y=6 \\ x=0 \end{cases} \Rightarrow D(0,3)$

$\textbf{Estudia respectivamente en qué puntos de dicha región toman su valor máximo las siguientes funciones: (1.5 puntos)}$

Las tres funciones son lineales y la región es acotada, así que cada máximo se alcanza en un vértice. Basta valorarlas en los cinco.

$\textbf{i) } \boldsymbol{x+\dfrac{1}{2}y}$

$f(O)=0;\quad f(A)=3;\quad f(B)=3{,}5;\quad f(C)=3;\quad f(D)=1{,}5$

El máximo vale $3{,}5$ y se alcanza únicamente en $B(3,1)$.

$\textbf{ii) } \boldsymbol{x+\dfrac{3}{2}y}$

$f(O)=0;\quad f(A)=3;\quad f(B)=4{,}5;\quad f(C)=5;\quad f(D)=4{,}5$

El máximo vale $5$ y se alcanza únicamente en $C(2,2)$.

$\textbf{iii) } \boldsymbol{x+3y}$

$f(O)=0;\quad f(A)=3;\quad f(B)=6;\quad f(C)=8;\quad f(D)=9$

El máximo vale $9$ y se alcanza únicamente en $D(0,3)$.

Al aumentar el coeficiente de $y$ las rectas de nivel se van tumbando y el óptimo se desplaza por el borde del pentágono, de $B$ a $C$ y de $C$ a $D$: cuanto más vale la segunda variable, más interesa el vértice alto.