Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Una de las dos matrices siguientes tiene matriz inversa. Calcúlala: (2 puntos)

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

¿Cuál es la inversa de dicha matriz inversa? ¿Por qué sabes que la otra matriz no tiene inversa? (0.5 puntos)

$\textbf{Una de las dos matrices siguientes tiene matriz inversa. Calcúlala: (2 puntos)}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante no es nulo, así que se calculan los dos determinantes. Se desarrollan por la primera fila.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1(0-1)-1(1-0)+0=-1-1=-2\neq 0$

$|B|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=1(0-1)-1(1-2)+0=-1+1=0$

La que tiene inversa es $A$. Se calcula por el método de los adjuntos.

$\text{Adj}(A)=\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

La matriz de adjuntos resulta simétrica, así que coincide con su traspuesta. Aplicando la fórmula:

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\left(\text{Adj}(A)\right)^{t}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=I$

$\textbf{¿Cuál es la inversa de dicha matriz inversa? ¿Por qué sabes que la otra matriz no tiene inversa? (0.5 puntos)}$

La igualdad $A\cdot A^{-1}=I$ se lee en los dos sentidos: si $A^{-1}$ es la inversa de $A$, entonces $A$ es la inversa de $A^{-1}$.

$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

La matriz $B$ no tiene inversa porque su determinante es cero, y lo es porque sus filas no son independientes: la tercera es la suma de las dos primeras.

$(1,1,0)+(1,0,1)=(2,1,1)$

Al ser una fila combinación lineal de las otras, el rango de $B$ es 2 y no 3, de modo que $B$ es singular.