Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Para que no se desanimen los equipos de menos nivel, los organizadores de un torneo escolar de fútbol adjudican en cada partido un número positivo de puntos a los dos equipos. Lo hacen de forma que:

5 empates equivalen a 2 victorias más 2 derrotas;
1 victoria equivale a 3 derrotas más 1 punto;
1 derrota más 5 puntos equivalen a 1 victoria más 1 empate.

¿Cuántos puntos se adjudican por victoria, empate y derrota? (2.5 puntos)

$\textbf{¿Cuántos puntos se adjudican por victoria, empate y derrota? (2.5 puntos)}$

Se llama $v$ a los puntos de una victoria, $e$ a los de un empate y $d$ a los de una derrota. Cada una de las tres frases del enunciado es una ecuación.

$5e=2v+2d$

$v=3d+1$

$d+5=v+e$

Conviene empezar por la segunda, que ya da $v$ en función de $d$, y llevarla a la tercera para obtener también $e$:

$e=d+5-v=d+5-(3d+1)=4-2d$

Se sustituyen las dos en la primera ecuación:

$5(4-2d)=2(3d+1)+2d$

$20-10d=6d+2+2d \Rightarrow 20-10d=8d+2$

$18=18d \Rightarrow d=1$

$v=3\cdot 1+1=4;\qquad e=4-2=2$

Los tres valores son positivos, como exigía el enunciado. Se comprueban las tres condiciones: $5\cdot 2=10=2\cdot 4+2\cdot 1$; $4=3\cdot 1+1$; $1+5=6=4+2$.

Se adjudican 4 puntos por victoria, 2 por empate y 1 por derrota.