Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Llamamos X a la longitud de la cola de un ejemplar adulto de lémur barbado, especie recientemente descrita. Sigue una distribución normal cuya desviación típica tiene una valor asumido de 4.2 cm (por los estudios realizados en variedades similares), y para estimar su media $\mu$ se ha tomado una muestra independiente de 20 lémures. La media muestral resulta ser $\overline{X}=38{.}6$ cm.

i) Calcula un intervalo en el que situaríamos a $\mu$ con el 95 % de confianza. (1.25 puntos)
ii) Si juzgamos excesivo el error muestral y queremos repetir la estimación con una muestra más numerosa, lo justo para que dicho error sea menor que 1 cm, ¿cuál debería ser el tamaño de dicha muestra? (1.25 puntos)

Se llama $X$ a la longitud, en centímetros, de la cola de un lémur barbado adulto. Según el enunciado

$X\sim N(\mu;\ 4{,}2)$

y de una muestra de $n=20$ ejemplares se ha obtenido $\overline{x}=38{,}6$ cm.

$\textbf{i) Calcula un intervalo en el que situaríamos a } \boldsymbol{\mu}\textbf{ con el 95 \% de confianza. (1.25 puntos)}$

Como la población es normal y se conoce la desviación típica, el intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico del 95 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



$E=1{,}96\cdot\dfrac{4{,}2}{\sqrt{20}}\approx 1{,}84$

$\left(38{,}6-1{,}84,\ 38{,}6+1{,}84\right)=\left(36{,}76,\ 40{,}44\right)$

El intervalo con el 95 % de confianza para la longitud media de la cola es $(36{,}76;\ 40{,}44)$ centímetros.

$\textbf{ii) Si juzgamos excesivo el error muestral y queremos repetir la estimación con una muestra más numerosa, lo justo para que dicho error sea menor que 1 cm, ¿cuál debería ser el tamaño de dicha muestra? (1.25 puntos)}$

Se impone que el error sea menor que 1 centímetro y se despeja el tamaño de la muestra. El valor crítico no cambia, porque el nivel de confianza es el mismo.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<1 \Rightarrow 1{,}96\cdot\dfrac{4{,}2}{\sqrt{n}}<1$

$\sqrt{n}>1{,}96\cdot 4{,}2=8{,}232$

$n>8{,}232^{2}=67{,}77$

Como el tamaño de la muestra es un número natural, se toma el primer entero que cumple la desigualdad.

Habría que medir 68 lémures, más del triple de los 20 de partida: reducir el error a la mitad exige multiplicar la muestra por cuatro.