Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

La variable X mide la estatura de los (y las) policías de Francia. Sigue una distribución normal con desviación típica 6.5 (en cm), de forma que el 11.507 % de policías de Francia mide más de 183 cm.

i) Calcula la media de la variable X. (1.75 puntos)
ii) Averigua la estatura que es superada por el 88.493 % de policías en Francia. (0.75 puntos)

Se llama $X$ a la estatura, en centímetros, de un policía de Francia. Según el enunciado

$X\sim N(\mu;\ 6{,}5)$

$\textbf{i) Calcula la media de la variable X. (1.75 puntos)}$

El dato del enunciado es el área de la cola de la derecha de 183 cm. Se pasa al área acumulada, que es lo que recoge la tabla:

$P(X>183)=0{,}11507 \Rightarrow P(X\leq 183)=1-0{,}11507=0{,}88493$

Se tipifica y se busca en la tabla la abscisa correspondiente:

$P\left(Z\leq\dfrac{183-\mu}{6{,}5}\right)=0{,}88493 \Rightarrow \dfrac{183-\mu}{6{,}5}=1{,}20$



$183-\mu=1{,}20\cdot 6{,}5=7{,}8$

$\mu=183-7{,}8=175{,}2$

La estatura media de los policías de Francia es de 175,2 centímetros.

$\textbf{ii) Averigua la estatura que es superada por el 88.493 \% de policías en Francia. (0.75 puntos)}$

Ahora el porcentaje está a la derecha del valor buscado, así que el área acumulada hasta él es la complementaria:

$P(X>k)=0{,}88493 \Rightarrow P(X\leq k)=1-0{,}88493=0{,}11507$

Ese valor es menor que $0{,}5$, de modo que la abscisa tipificada es negativa. Por la simetría de la campana es la opuesta de la del apartado anterior:

$\dfrac{k-175{,}2}{6{,}5}=-1{,}20 \Rightarrow k=175{,}2-7{,}8=167{,}4$



La estatura superada por el 88,493 % de los policías es de 167,4 centímetros, la simétrica de 183 respecto de la media.