Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2023

Un bombo de lotería tiene diez bolas, numeradas del 0 al 9. Realizamos dos extracciones consecutivas, sin reemplazar la primera bola. Sean los sucesos

A = «la primera bola es 0»;
B = «la primera bola es 5»;
C = «la segunda bola es mayor que la primera».

Calcula entonces las probabilidades siguientes: (2.5 puntos)

i) $P(A)$
ii) $P(B)$
iii) $P(C)$
iv) $P(A\mid C)$
v) $P(B\mid C)$

$\textbf{Calcula entonces las probabilidades siguientes: (2.5 puntos)}$

El experimento consiste en extraer dos bolas seguidas sin devolver la primera. Los resultados posibles son los pares ordenados de bolas distintas, y hay

$10\cdot 9=90$

casos, todos igualmente probables, de modo que se puede aplicar la regla de Laplace.

$\textbf{i) } \boldsymbol{P(A)}$

En la primera extracción hay diez bolas y una sola es el 0.

$P(A)=\dfrac{1}{10}$

$\textbf{ii) } \boldsymbol{P(B)}$

El razonamiento es el mismo con el 5.

$P(B)=\dfrac{1}{10}$

$\textbf{iii) } \boldsymbol{P(C)}$

No hace falta contar: las dos bolas extraídas son siempre distintas, y de los dos órdenes posibles en que pueden salir exactamente uno cumple que la segunda sea mayor que la primera. Por simetría, la mitad de los 90 casos son favorables.

$P(C)=\dfrac{45}{90}=\dfrac{1}{2}$

$\textbf{iv) } \boldsymbol{P(A\mid C)}$

Se aplica la definición de probabilidad condicionada. Si la primera bola es el 0, la segunda es forzosamente mayor, así que $A$ está contenido en $C$ y la intersección es el propio $A$:

$A\subset C \Rightarrow P(A\cap C)=P(A)=\dfrac{1}{10}$

$P(A\mid C)=\dfrac{P(A\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\frac{1}{10}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{5}$

$\textbf{v) } \boldsymbol{P(B\mid C)}$

Ahora la intersección no es todo $B$: si la primera bola es el 5, solo cuatro de las nueve restantes —el 6, el 7, el 8 y el 9— son mayores.

$P(B\cap C)=\dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{4}{9}=\dfrac{4}{90}=\dfrac{2}{45}$

$P(B\mid C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}=\dfrac{\frac{2}{45}}{\frac{1}{2}}=\dfrac{4}{45}$

Las probabilidades pedidas son $P(A)=P(B)=\frac{1}{10}$, $P(C)=\frac{1}{2}$, $P(A\mid C)=\frac{1}{5}$ y $P(B\mid C)=\frac{4}{45}\approx 0{,}0889$. Saber que la segunda bola es mayor duplica la probabilidad de que la primera fuera el 0 y en cambio reduce la de que fuera el 5.