Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2023

Sea $f(x)=x^{3}-3x+2$.

i) Encuentra sus extremos relativos, y evalúa f en dichos puntos. (1 punto)
ii) Halla el área de la región limitada por $y=f(x)$, $y=0$, $x=1$ y $x=-2$, y haz un dibujo de dicha región. (1.5 puntos)

$\textbf{i) Encuentra sus extremos relativos, y evalúa f en dichos puntos. (1 punto)}$

Se deriva la función y se iguala a cero.

$f'(x)=3x^{2}-3=3\left(x^{2}-1\right)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm 1$

Se estudia el signo de la derivada en los tres tramos que determinan:

$f'(-2)=9>0;\qquad f'(0)=-3<0;\qquad f'(2)=9>0$



En $x=-1$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=1$ de decrecer a crecer, así que hay un máximo relativo en el primero y un mínimo relativo en el segundo. Se confirma con la segunda derivada:

$f''(x)=6x \Rightarrow f''(-1)=-6<0;\qquad f''(1)=6>0$

$f(-1)=-1+3+2=4;\qquad f(1)=1-3+2=0$

La función tiene un máximo relativo en $(-1,4)$ y un mínimo relativo en $(1,0)$.

$\textbf{ii) Halla el área de la región limitada por } \boldsymbol{y=f(x)}\textbf{, } \boldsymbol{y=0}\textbf{, } \boldsymbol{x=1}\textbf{ y } \boldsymbol{x=-2}\textbf{, y haz un dibujo de dicha región. (1.5 puntos)}$

Antes de integrar hay que saber si la curva corta al eje de abscisas dentro del intervalo, porque en ese caso habría que partir la integral. Se factoriza el polinomio, sabiendo por el apartado anterior que $x=1$ lo anula:

$x^{3}-3x+2=(x-1)^{2}(x+2)$

Los ceros son $x=1$, que es doble, y $x=-2$: justamente los dos extremos del intervalo. Dentro de $(-2,1)$ los dos factores son positivos, luego la función no cambia de signo y el recinto queda entero por encima del eje.

$f(0)=2>0$



El área coincide entonces con la integral definida:

$\mathcal{A}=\int_{-2}^{1}\left(x^{3}-3x+2\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{3x^{2}}{2}+2x\right]_{-2}^{1}$

$=\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{3}{2}+2\right)-\left(4-6-4\right)$

$=\dfrac{3}{4}+6=\dfrac{27}{4}$

El área de la región es de $\dfrac{27}{4}=6{,}75$ unidades de área.