Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Una función f, definida en el intervalo $[0,2]$, tiene la gráfica siguiente:



i) Expresa por intervalos el valor de $f(x)$. (1.75 puntos)
ii) Calcula los valores x tales que $f(x)=1/3$. (0.75 puntos)

$\textbf{i) Expresa por intervalos el valor de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{. (1.75 puntos)}$

La gráfica está formada por cuatro segmentos, así que basta escribir la ecuación de la recta que contiene a cada uno a partir de sus dos extremos.

El primero va de $(0,0)$ a $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$:

$m=\dfrac{\frac{1}{2}-0}{\frac{1}{2}-0}=1 \Rightarrow y=x$

El segundo va de $\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ a $(1,0)$:

$m=\dfrac{0-\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=-1 \Rightarrow y-0=-1(x-1) \Rightarrow y=1-x$

El tercero va de $(1,0)$ a $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$, con la misma pendiente que el primero:

$y-0=1\cdot(x-1) \Rightarrow y=x-1$

Y el cuarto, de $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ a $(2,0)$:

$y-0=-1(x-2) \Rightarrow y=2-x$

Reuniendo los cuatro tramos:

$f(x)=\begin{cases} x & \text{si } 0\leq x\leq\frac{1}{2}, \\ 1-x & \text{si } \frac{1}{2}\leq x\leq 1, \\ x-1 & \text{si } 1\leq x\leq\frac{3}{2}, \\ 2-x & \text{si } \frac{3}{2}\leq x\leq 2. \end{cases}$

En cada punto de empalme las dos expresiones dan el mismo valor, de modo que la función es continua en todo el intervalo, como muestra la gráfica.

$\textbf{ii) Calcula los valores x tales que } \boldsymbol{f(x)=1/3}\textbf{. (0.75 puntos)}$

La recta horizontal $y=\frac{1}{3}$ está por debajo de $\frac{1}{2}$, que es el valor máximo de la función, así que corta a los cuatro segmentos. Se resuelve la ecuación tramo a tramo, comprobando cada vez que la solución pertenece al intervalo correspondiente.

$x=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\dfrac{1}{3}\in\left[0,\dfrac{1}{2}\right]$

$1-x=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\dfrac{2}{3}\in\left[\dfrac{1}{2},1\right]$

$x-1=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\dfrac{4}{3}\in\left[1,\dfrac{3}{2}\right]$

$2-x=\dfrac{1}{3} \Rightarrow x=\dfrac{5}{3}\in\left[\dfrac{3}{2},2\right]$



Los cuatro valores que cumplen $f(x)=\frac{1}{3}$ son $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{4}{3}$ y $\frac{5}{3}$.