Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2023

Definimos la función

$f(x)=\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+x-2}$

en todos los valores reales x en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es entonces su dominio? (0.25 puntos)

¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica $y=f(x)$? Indica los límites de f relevantes en cada una. (0.75 puntos)

Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas, los cortes con los ejes y también los extremos relativos de f, que debes calcular previamente. (1.5 puntos)

$\textbf{¿Cuál es entonces su dominio? (0.25 puntos)}$

Al ser un cociente de polinomios, el dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x^{2}+x-2=0 \Rightarrow x=\dfrac{-1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\dfrac{-1\pm 3}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=-2 \end{cases}$

$\text{Dom } f=\mathbb{R}-\{-2,1\}$

$\textbf{¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica } \boldsymbol{y=f(x)}\textbf{? Indica los límites de f relevantes en cada una. (0.75 puntos)}$

En los dos puntos que quedan fuera del dominio el numerador no se anula —vale 2 en ambos—, luego las dos rectas verticales son asíntotas. Escribiendo el denominador factorizado, $(x+2)(x-1)$, se ve enseguida el signo de cada límite lateral:

$\lim_{x\to -2^{-}}f(x)=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty;\qquad \lim_{x\to -2^{+}}f(x)=\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$

$\lim_{x\to 1^{-}}f(x)=\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty;\qquad \lim_{x\to 1^{+}}f(x)=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$

Las rectas $x=-2$ y $x=1$ son asíntotas verticales.

Numerador y denominador tienen el mismo grado, de modo que el límite en el infinito es el cociente de los coeficientes principales:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{x^{2}+x}{x^{2}+x-2}=1$

La recta $y=1$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay oblicua.

$\textbf{Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas, los cortes con los ejes y también los extremos relativos de f, que debes calcular previamente. (1.5 puntos)}$

Conviene reescribir la función separando la parte entera, porque así la derivada sale de un golpe:

$f(x)=\dfrac{x^{2}+x-2+2}{x^{2}+x-2}=1+\dfrac{2}{x^{2}+x-2}$

$f'(x)=-\dfrac{2(2x+1)}{\left(x^{2}+x-2\right)^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 2x+1=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $-2(2x+1)$: positiva a la izquierda de $-\frac{1}{2}$ y negativa a la derecha.

$f'(-1)=\dfrac{2}{4}>0;\qquad f'(0)=-\dfrac{2}{4}<0$



En $x=-\frac{1}{2}$ la función pasa de crecer a decrecer, luego presenta un máximo relativo:

$f\left(-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}-2}=\dfrac{-\frac{1}{4}}{-\frac{9}{4}}=\dfrac{1}{9}$

Los cortes con los ejes se obtienen anulando cada variable:

$x=0 \Rightarrow f(0)=\dfrac{0}{-2}=0 \Rightarrow (0,0)$

$f(x)=0 \Rightarrow x^{2}+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0 \Rightarrow (0,0) \text{ y } (-1,0)$



El dominio es $\mathbb{R}-\{-2,1\}$, las asíntotas verticales son $x=-2$ y $x=1$, la horizontal es $y=1$, la gráfica corta a los ejes en $(0,0)$ y $(-1,0)$, y el único extremo relativo es el máximo $\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{9}\right)$.