Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Necesitamos obtener al menos 80 gramos de cobre, 60 de zinc y 60 de níquel, y sabemos hacerlo mediante dos técnicas distintas a partir de objetos desechados fabricados con alpaca. Usaremos la primera técnica durante un tiempo x, y después usaremos la segunda durante un tiempo y.

Con la primera técnica podemos conseguir, en cada hora, 8 g de cobre, 3 g de zinc y 1 g de níquel. Con la segunda técnica obtenemos en una hora 4 g de cobre, 6 g de zinc y 12 g de níquel.

¿Cuánto deben valer x e y para conseguir el objetivo en el menor tiempo posible? (2.5 puntos)

$\textbf{¿Cuánto deben valer x e y para conseguir el objetivo en el menor tiempo posible? (2.5 puntos)}$

Las variables ya las nombra el enunciado: $x$ son las horas con la primera técnica e $y$ las horas con la segunda. Se ordena en una tabla lo que se obtiene de cada metal.

$$	$\text{Cobre (g)}$	$\text{Zinc (g)}$	$\text{Níquel (g)}$
Técnica 1 $(x)$	$8x$	$3x$	$x$
Técnica 2 $(y)$	$4y$	$6y$	$12y$
Necesario	$80$	$60$	$60$

Lo que se quiere minimizar es el tiempo total empleado, y las restricciones son las cantidades mínimas de cada metal:

$\text{Minimizar } T(x,y)=x+y \text{ sujeto a } \begin{cases} 8x+4y\geq 80 \\ 3x+6y\geq 60 \\ x+12y\geq 60 \\ x\geq 0,\ y\geq 0 \end{cases}$

Las dos primeras restricciones se simplifican dividiendo entre 4 y entre 3:

$2x+y\geq 20;\qquad x+2y\geq 20$

El origen no cumple ninguna de las tres desigualdades, así que los semiplanos válidos son los que no lo contienen y la región factible queda por encima de las tres rectas: es una región no acotada.



Los vértices se obtienen cortando las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} x=0 \\ 2x+y=20 \end{cases} \Rightarrow A(0,20)$

$\begin{cases} 2x+y=20 \\ x+2y=20 \end{cases} \Rightarrow 4x+2y=40 \Rightarrow 3x=20 \Rightarrow x=\dfrac{20}{3} \Rightarrow y=\dfrac{20}{3}$

$\begin{cases} x+2y=20 \\ x+12y=60 \end{cases} \Rightarrow 10y=40 \Rightarrow y=4 \Rightarrow x=12 \Rightarrow C(12,4)$

$\begin{cases} y=0 \\ x+12y=60 \end{cases} \Rightarrow D(60,0)$

La región no está acotada, pero el objetivo es un mínimo y la función crece al alejarse del origen, de modo que el óptimo se alcanza en uno de los vértices. Se valora el tiempo total en los cuatro:

$T(0,20)=20;\qquad T\left(\dfrac{20}{3},\dfrac{20}{3}\right)=\dfrac{40}{3}\approx 13{,}33$

$T(12,4)=16;\qquad T(60,0)=60$

El mínimo se alcanza en el vértice $B\left(\frac{20}{3},\frac{20}{3}\right)$. Hay que emplear $\frac{20}{3}$ horas —6 horas y 40 minutos— con cada una de las dos técnicas, con lo que el trabajo total dura $\frac{40}{3}$ horas, es decir, 13 horas y 20 minutos. Con esa combinación se obtienen exactamente los 80 gramos de cobre y los 60 de zinc, y sobra níquel.