Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sean

$A=\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -6 & -2 \end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \qquad \text{y} \qquad C=\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

Determina cuáles de las siguientes matrices tienen inversa, y si es el caso calcúlala: (2.5 puntos)

i) $A$
ii) $B$
iii) $C$
iv) $A\,B\,C$
v) $B\,C$

$\textbf{Determina cuáles de las siguientes matrices tienen inversa, y si es el caso calcúlala: (2.5 puntos)}$

Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero, así que el primer paso es calcular los tres determinantes.

$\textbf{i) } \boldsymbol{A}$

$|A|=\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ -6 & -2 \end{vmatrix}=3\cdot(-2)-1\cdot(-6)=-6+6=0$

La matriz $A$ no tiene inversa: su segunda fila es la primera multiplicada por $-2$, de modo que las dos filas son proporcionales.

$\textbf{ii) } \boldsymbol{B}$

$|B|=\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=6-0=6\neq 0$

Sí tiene inversa. En una matriz de orden 2 se intercambian los elementos de la diagonal principal, se cambia de signo a los de la secundaria y se divide por el determinante:

$B^{-1}=\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

$\textbf{iii) } \boldsymbol{C}$

$|C|=\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=1+1=2\neq 0$

$C^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

$\textbf{iv) } \boldsymbol{A\,B\,C}$

No hace falta multiplicar las tres matrices: el determinante de un producto es el producto de los determinantes.

$|A\,B\,C|=|A|\cdot|B|\cdot|C|=0\cdot 6\cdot 2=0$

El producto $A\,B\,C$ no tiene inversa. Basta con que uno de los factores sea singular para que lo sea todo el producto.

$\textbf{v) } \boldsymbol{B\,C}$

$|B\,C|=|B|\cdot|C|=6\cdot 2=12\neq 0$

Sí tiene inversa. Se calcula primero el producto:

$B\,C=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 3 & 3 \end{pmatrix}$

$(B\,C)^{-1}=\dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

Se comprueba que coincide con $C^{-1}B^{-1}$, que es como se invierte un producto:

$C^{-1}B^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{6}\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{12}\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -3 & 3 \end{pmatrix}$

Tienen inversa $B$, $C$ y $B\,C$; no la tienen $A$ ni $A\,B\,C$.