Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

En un gran yacimiento arqueológico se estudian 36 cráneos, cuyo perímetro medio servirá para datar aproximadamente la época de ocupación. La media resulta ser igual a 56.2 cm.

Si consideramos como desviación típica el valor 1.5 cm, ¿qué intervalo de confianza obtenemos para situar la media, con nivel de confianza 0.95? (1.25 puntos)

¿Qué desviación típica deberíamos asumir para obtener el mismo intervalo si lo calculamos con el 90 % de confianza? (1.25 puntos)

Se llama $X$ al perímetro, en centímetros, de un cráneo. Según el enunciado la muestra es de $n=36$ cráneos y su media vale $\overline{x}=56{,}2$ cm.

$\textbf{Si consideramos como desviación típica el valor 1.5 cm, ¿qué intervalo de confianza obtenemos para situar la media, con nivel de confianza 0.95? (1.25 puntos)}$

El intervalo de confianza para la media con desviación típica conocida es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico del 95 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



$E=1{,}96\cdot\dfrac{1{,}5}{\sqrt{36}}=1{,}96\cdot\dfrac{1{,}5}{6}=0{,}49$

$\left(56{,}2-0{,}49,\ 56{,}2+0{,}49\right)=\left(55{,}71,\ 56{,}69\right)$

El intervalo de confianza al 95 % para el perímetro medio es $(55{,}71;\ 56{,}69)$ centímetros.

$\textbf{¿Qué desviación típica deberíamos asumir para obtener el mismo intervalo si lo calculamos con el 90 \% de confianza? (1.25 puntos)}$

Obtener el mismo intervalo con la misma muestra equivale a mantener el error, que es la semiamplitud:

$E=0{,}49$

Al bajar el nivel de confianza al 90 % cambia el valor crítico:

$1-\alpha=0{,}90 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}05 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}95 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}645$



Se despeja la desviación típica de la expresión del error:

$0{,}49=1{,}645\cdot\dfrac{\sigma}{6} \Rightarrow \sigma=\dfrac{0{,}49\cdot 6}{1{,}645}=\dfrac{2{,}94}{1{,}645}$

$\sigma\approx 1{,}79$

Habría que asumir una desviación típica de aproximadamente 1,79 centímetros. Es mayor que la de partida, y tiene sentido: con menos confianza el intervalo se estrecha, así que para que siga midiendo lo mismo la población tiene que estar más dispersa.