Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

En la figura se representa la gráfica $y=f(x)$, con

$f(x)=(x^{2}-1)(x-b)$ para cierto b entre $-1$ y 1.



¿Qué signo tienen respectivamente las integrales $\displaystyle\int_{-1}^{b} f(x)\,dx$ y $\displaystyle\int_{b}^{1} f(x)\,dx$? (0.25 puntos)

Sabemos que $\displaystyle\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}$. Halla entonces el valor de b. (2.25 puntos)

$\textbf{¿Qué signo tienen respectivamente las integrales } \boldsymbol{\int_{-1}^{b} f(x)\,dx}\textbf{ y } \boldsymbol{\int_{b}^{1} f(x)\,dx}\textbf{? (0.25 puntos)}$

El signo de cada integral es el de la función en su intervalo, y este se obtiene estudiando el signo de los dos factores.

En $(-1,b)$ se cumple $|x|<1$, luego $x^{2}-1<0$, y además $x<b$, luego $x-b<0$. El producto de dos factores negativos es positivo.

En $(b,1)$ sigue siendo $x^{2}-1<0$, pero ahora $x-b>0$, de modo que el producto es negativo.

Esto es exactamente lo que muestra la figura del enunciado: entre $-1$ y $b$ la curva va por encima del eje y entre $b$ y 1 por debajo.

$\int_{-1}^{b} f(x)\,dx>0;\qquad \int_{b}^{1} f(x)\,dx<0$

$\textbf{Sabemos que } \boldsymbol{\int_{-1}^{1} f(x)\,dx=\dfrac{1}{3}}\textbf{. Halla entonces el valor de b. (2.25 puntos)}$

Se desarrolla el producto para poder integrar término a término.

$f(x)=(x^{2}-1)(x-b)=x^{3}-b\,x^{2}-x+b$

$\int_{-1}^{1}\left(x^{3}-b\,x^{2}-x+b\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{4}-\dfrac{b\,x^{3}}{3}-\dfrac{x^{2}}{2}+b\,x\right]_{-1}^{1}$

$=\left(\dfrac{1}{4}-\dfrac{b}{3}-\dfrac{1}{2}+b\right)-\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{b}{3}-\dfrac{1}{2}-b\right)$

$=-\dfrac{2b}{3}+2b=\dfrac{4b}{3}$

Los términos pares se cancelan, como era de esperar: $x^{3}$ y $-x$ son funciones impares y su integral en un intervalo simétrico es nula.

Se iguala al valor que da el enunciado y se despeja:

$\dfrac{4b}{3}=\dfrac{1}{3} \Rightarrow 4b=1 \Rightarrow b=\dfrac{1}{4}$

El valor obtenido está entre $-1$ y 1, como exigía el enunciado.

El valor del parámetro es $b=\dfrac{1}{4}$.