Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Consideramos la parábola

$y=5x-x^{2}-4$

La recta $y=ax$ corta a la parábola en un punto $(x_{0},y_{0})$, e $y_{0}$ es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen a, $x_{0}$ e $y_{0}$? (2.5 puntos)

$\textbf{La recta } \boldsymbol{y=ax}\textbf{ corta a la parábola en un punto } \boldsymbol{(x_{0},y_{0})}\textbf{, e } \boldsymbol{y_{0}}\textbf{ es el máximo valor posible. ¿Cuánto valen a, } \boldsymbol{x_{0}}\textbf{ e } \boldsymbol{y_{0}}\textbf{? (2.5 puntos)}$

Se igualan las dos ecuaciones para hallar las abscisas de los puntos comunes a la recta y a la parábola.

$ax=5x-x^{2}-4 \Rightarrow x^{2}+(a-5)x+4=0$

Que la recta corte a la parábola en un solo punto significa que esta ecuación de segundo grado tiene una única solución, es decir, que su discriminante se anula.

$\Delta=(a-5)^{2}-4\cdot 1\cdot 4=(a-5)^{2}-16$

$\Delta=0 \Rightarrow (a-5)^{2}=16 \Rightarrow a-5=\pm 4 \Rightarrow \begin{cases} a=9 \\ a=1 \end{cases}$

Hay, por tanto, dos rectas por el origen que tocan a la parábola en un solo punto. Se calcula el punto de cada una.

Para $a=1$:

$x^{2}-4x+4=0 \Rightarrow (x-2)^{2}=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow y=1\cdot 2=2$

Para $a=9$:

$x^{2}+4x+4=0 \Rightarrow (x+2)^{2}=0 \Rightarrow x=-2 \Rightarrow y=9\cdot(-2)=-18$



De los dos valores posibles de $y_{0}$ el enunciado pide el mayor, y $2>-18$, así que se descarta la segunda recta.

Los valores pedidos son $a=1$, $x_{0}=2$ e $y_{0}=2$: la recta $y=x$ toca a la parábola en el punto $(2,2)$.