Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Definimos la función

$f(x)=\dfrac{2}{x\,(x-2)}$

para los valores reales x en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es su dominio? (0.25 puntos)

¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica $y=f(x)$? Indica los límites de f relevantes en cada una. (0.75 puntos)

Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas y también los extremos relativos de f, que debes calcular previamente. (1.5 puntos)

$\textbf{¿Cuál es su dominio? (0.25 puntos)}$

Al ser un cociente, el dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x(x-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

$\text{Dom } f=\mathbb{R}-\{0,2\}$

$\textbf{¿Qué asíntotas horizontales y verticales observaremos en la gráfica } \boldsymbol{y=f(x)}\textbf{? Indica los límites de f relevantes en cada una. (0.75 puntos)}$

Los dos puntos que quedan fuera del dominio anulan el denominador sin anular el numerador, así que las dos rectas verticales correspondientes son asíntotas. Los límites laterales cambian de signo porque el producto $x(x-2)$ lo cambia:

$\lim_{x\to 0^{-}}\dfrac{2}{x(x-2)}=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty;\qquad \lim_{x\to 0^{+}}\dfrac{2}{x(x-2)}=\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$

$\lim_{x\to 2^{-}}\dfrac{2}{x(x-2)}=\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty;\qquad \lim_{x\to 2^{+}}\dfrac{2}{x(x-2)}=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty$

Las rectas $x=0$ y $x=2$ son asíntotas verticales.

Como el denominador es de grado 2 y el numerador constante, el cociente tiende a cero en el infinito:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{2}{x^{2}-2x}=0$

La recta $y=0$ es asíntota horizontal, y al haberla no hay asíntota oblicua.

$\textbf{Dibuja dicha gráfica, señalando en la misma las asíntotas y también los extremos relativos de f, que debes calcular previamente. (1.5 puntos)}$

Se deriva la función escrita como potencia, que es lo más cómodo:

$f(x)=2\left(x^{2}-2x\right)^{-1} \Rightarrow f'(x)=-2\left(x^{2}-2x\right)^{-2}(2x-2)$

$f'(x)=\dfrac{-4(x-1)}{\left(x^{2}-2x\right)^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el de $-4(x-1)$: positiva a la izquierda de 1 y negativa a la derecha.

$f'\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{2}{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}}>0;\qquad f'\left(\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{-2}{\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}}<0$



En $x=1$ la función pasa de crecer a decrecer, luego hay un máximo relativo:

$f(1)=\dfrac{2}{1\cdot(-1)}=-2$

Con las tres ramas que separan las asíntotas verticales, la horizontal $y=0$ y el máximo relativo $(1,-2)$ ya se puede trazar la gráfica.



El dominio es $\mathbb{R}-\{0,2\}$, las asíntotas verticales son $x=0$ y $x=2$, la horizontal es $y=0$ y el único extremo relativo es el máximo $(1,-2)$.