Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un pastelero elabora dos clases de pasteles, con masa y chocolate que ya tiene preparados en cuencos. Las llamaremos A y B. Puede elaborar un máximo de 30 unidades de la clase B.

Cada unidad de la clase A requiere 2 cuencos de masa y 2 de chocolate, y la vende por 5 euros. Las de B contienen 1 cuenco de masa y 2 de chocolate, y su precio es de 4 euros. Dispone de 60 cuencos de masa y 80 de chocolate para elaborar todos los pasteles.

Dando por supuesto que venderá todos los pasteles, ¿cuántos tiene que hacer de cada clase para maximizar su beneficio? (2.5 puntos)

$\textbf{Dando por supuesto que venderá todos los pasteles, ¿cuántos tiene que hacer de cada clase para maximizar su beneficio? (2.5 puntos)}$

Se llama $x$ al número de pasteles de la clase A e $y$ al de la clase B. Se ordenan en una tabla los cuencos de cada ingrediente y el precio de venta.

$$	$\text{Cuencos de masa}$	$\text{Cuencos de chocolate}$	$\text{Ingresos (euros)}$
Clase A $(x)$	$2x$	$2x$	$5x$
Clase B $(y)$	$y$	$2y$	$4y$
Disponible	$60$	$80$	$$

Como la masa y el chocolate ya están preparados, el beneficio que hay que maximizar es el importe total de la venta:

$\text{Maximizar } I(x,y)=5x+4y \text{ sujeto a } \begin{cases} 2x+y\leq 60 \\ 2x+2y\leq 80 \\ y\leq 30 \\ x\geq 0,\ y\geq 0 \end{cases}$

La segunda restricción se simplifica dividiendo entre 2:

$2x+2y\leq 80 \Rightarrow x+y\leq 40$

El origen cumple las tres desigualdades, de modo que los semiplanos válidos son los que lo contienen y la región factible es el pentágono coloreado en azul.



Los vértices se obtienen cortando las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} y=0 \\ 2x+y=60 \end{cases} \Rightarrow A(30,0);\qquad \begin{cases} x=0 \\ y=30 \end{cases} \Rightarrow D(0,30)$

$\begin{cases} 2x+y=60 \\ x+y=40 \end{cases} \Rightarrow x=20 \Rightarrow y=20 \Rightarrow B(20,20)$

$\begin{cases} x+y=40 \\ y=30 \end{cases} \Rightarrow x=10 \Rightarrow C(10,30)$

Se valoran los ingresos en los cinco vértices:

$I(0,0)=0;\quad I(30,0)=150;\quad I(20,20)=100+80=180$

$I(10,30)=50+120=170;\quad I(0,30)=120$

El pastelero tiene que hacer 20 pasteles de la clase A y 20 de la clase B, con los que obtiene 180 euros, el máximo posible. Con esa combinación gasta los 60 cuencos de masa y los 80 de chocolate, sin que le sobre nada.