Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Resuelve el sistema lineal

$\begin{cases} 3x-y-2z=5 \\ x+y+3z=4 \\ 2x-3y+z=8 \end{cases}$ (1.75 puntos)

¿Por qué valor habría que sustituir el coeficiente 3 de la primera ecuación para que resultara un sistema sin soluciones? (0.75 puntos)

$\textbf{Resuelve el sistema lineal. (1.75 puntos)}$

Se resuelve por reducción. Sumando la primera y la segunda ecuación desaparece la incógnita $y$:

$\begin{cases} 3x-y-2z=5 \\ x+y+3z=4 \end{cases} \Rightarrow 4x+z=9$

Para eliminar de nuevo $y$ se multiplica la segunda ecuación por 3 y se le suma la tercera:

$\begin{cases} 3x+3y+9z=12 \\ 2x-3y+z=8 \end{cases} \Rightarrow 5x+10z=20 \Rightarrow x+2z=4$

Queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. De la primera se despeja $z$:

$z=9-4x$

$x+2(9-4x)=4 \Rightarrow x+18-8x=4 \Rightarrow -7x=-14 \Rightarrow x=2$

$z=9-8=1;\qquad y=4-x-3z=4-2-3=-1$

Se comprueba la solución en la primera y la tercera ecuación: $6+1-2=5$; $4+3+1=8$.

La solución del sistema es $x=2$, $y=-1$, $z=1$; es un sistema compatible determinado.

$\textbf{¿Por qué valor habría que sustituir el coeficiente 3 de la primera ecuación para que resultara un sistema sin soluciones? (0.75 puntos)}$

Se llama $k$ al coeficiente que sustituye al 3 y se estudia el sistema por el teorema de Rouché-Frobenius. Para que no tenga solución el rango de la matriz de coeficientes debe ser menor que el de la ampliada, y lo primero que hay que exigir es que el determinante se anule.

$|A|=\begin{vmatrix} k & -1 & -2 \\ 1 & 1 & 3 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix}=k(1+9)+1(1-6)-2(-3-2)$

$|A|=10k-5+10=10k+5$

$|A|=0 \Rightarrow 10k=-5 \Rightarrow k=-\dfrac{1}{2}$

Que el determinante se anule solo garantiza que el sistema no es compatible determinado; falta comprobar que para ese valor es incompatible y no indeterminado. La matriz de coeficientes tiene rango 2, porque el menor formado por las dos últimas filas y las dos primeras columnas no es nulo:

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{vmatrix}=-3-2=-5\neq 0 \Rightarrow \text{rg}(A)=2$

En la matriz ampliada se orla ese menor con la columna de términos independientes:

$\begin{vmatrix} -1 & -2 & 5 \\ 1 & 3 & 4 \\ -3 & 1 & 8 \end{vmatrix}=-1(24-4)+2(8+12)+5(1+9)=-20+40+50=70\neq 0$

$\text{rg}(A)=2<3=\text{rg}(A^{*})$

El sistema es entonces incompatible. Habría que sustituir el coeficiente 3 por $-\dfrac{1}{2}$.