Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

Las sandías de nuestra huerta tienen un peso cuya distribución es normal, con un desviación típica de 40 gr. Llamaremos $\mu$ a su media.

a) Si el peso medio fuese $\mu=650$ gr, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso promedio de 25 sandías superase los 666 gr? (1.25 puntos)
b) Sin conocer el valor de $\mu$ tomamos una muestra efectiva de 25 sandías, y el promedio de sus pesos resulta ser 700 gr. Calcula entonces un intervalo con el 95 % de confianza en el que localizar $\mu$. (1.25 puntos)

Se llama $X$ al peso, en gramos, de una sandía. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 40)$

$\textbf{a) Si el peso medio fuese } \boldsymbol{\mu=650}\textbf{ gr, ¿cuál sería la probabilidad de que el peso promedio de 25 sandías superase los 666 gr? (1.25 puntos)}$

La variable de estudio no es el peso de una sandía sino la media de la muestra. Al ser la población normal, la media muestral también lo es, con la misma media y desviación típica dividida por la raíz del tamaño:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=N\left(650,\dfrac{40}{\sqrt{25}}\right)=N(650,\ 8)$

Se tipifica el valor 666 y se pasa a la cola de la derecha:

$P\left(\overline{X}>666\right)=P\left(Z>\dfrac{666-650}{8}\right)=P(Z>2)$

$P(Z>2)=1-P(Z\leq 2)=1-0{,}9772=0{,}0228$



La probabilidad de que el peso promedio de 25 sandías supere los 666 gramos es $0{,}0228$, es decir, un 2,28 %.

$\textbf{b) Sin conocer el valor de } \boldsymbol{\mu}\textbf{ tomamos una muestra efectiva de 25 sandías, y el promedio de sus pesos resulta ser 700 gr. Calcula entonces un intervalo con el 95 \% de confianza en el que localizar } \boldsymbol{\mu}\textbf{. (1.25 puntos)}$

Como la población es normal y se conoce la desviación típica, el intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico del 95 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



$E=1{,}96\cdot\dfrac{40}{5}=1{,}96\cdot 8=15{,}68$

$\left(700-15{,}68,\ 700+15{,}68\right)=\left(684{,}32,\ 715{,}68\right)$

El intervalo con el 95 % de confianza para el peso medio de las sandías es $(684{,}32;\ 715{,}68)$ gramos.