Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

La distribución de las valoraciones de un producto en una macroencuesta es normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$. El porcentaje de las valoraciones superiores a 7 coincide con el de las valoraciones inferiores a 5.

i) ¿Por qué podemos deducir que $\mu=6$? (0.75 puntos)
ii) Si el porcentaje expresado es del 15.866 %, ¿cuál es el valor de $\sigma$? (0.75 puntos)
iii) ¿Qué valor es entonces superado solamente por el 2.5 % de las valoraciones? (1 punto)

Se llama $X$ a la valoración del producto. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\sigma)$

$\textbf{i) ¿Por qué podemos deducir que } \boldsymbol{\mu=6}\textbf{? (0.75 puntos)}$

El enunciado dice que las dos colas —la de la derecha de 7 y la de la izquierda de 5— encierran la misma área.

$P(X>7)=P(X<5)$

La campana de Gauss es simétrica respecto de la recta $x=\mu$, de modo que dos colas opuestas solo pueden tener la misma área si sus extremos son simétricos respecto de la media, es decir, si la media es el punto medio de los dos valores.



$\mu=\dfrac{5+7}{2}=6$

La media vale 6 porque 5 y 7 equidistan de ella.

$\textbf{ii) Si el porcentaje expresado es del 15.866 \%, ¿cuál es el valor de } \boldsymbol{\sigma}\textbf{? (0.75 puntos)}$

Se tipifica el extremo de la cola de la derecha y se busca en la tabla la abscisa que le corresponde.

$P(X>7)=0{,}15866 \Rightarrow P(X\leq 7)=1-0{,}15866=0{,}84134$

$P\left(Z\leq\dfrac{7-6}{\sigma}\right)=0{,}84134 \Rightarrow \dfrac{1}{\sigma}=1$

$\sigma=1$

La desviación típica de las valoraciones es 1: el valor 7 está exactamente a una desviación típica de la media.

$\textbf{iii) ¿Qué valor es entonces superado solamente por el 2.5 \% de las valoraciones? (1 punto)}$

Se busca el valor $k$ que deja a su derecha el 2,5 % del área, o lo que es lo mismo, el 97,5 % a su izquierda.

$P(X>k)=0{,}025 \Rightarrow P(X\leq k)=0{,}975$

$P\left(Z\leq\dfrac{k-6}{1}\right)=0{,}975 \Rightarrow \dfrac{k-6}{1}=1{,}96$

$k=6+1{,}96=7{,}96$



Solo el 2,5 % de las valoraciones supera el 7,96.