Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2024

De cada diez autobuses que llegan al enclave de un concierto en Asturias cuatro proceden de Gijón, tres de Oviedo, dos de Avilés y uno de Mieres. El 40 % de las personas que llegan de Gijón y de Oviedo son mujeres, pero el porcentaje es del 60 % entre las que llegan de Avilés y del 80 % de las llegadas desde Mieres.

Si elegimos una mujer al azar que ha llegado en autobús al concierto, ¿con qué probabilidad lo ha hecho desde cada una de las cuatro ciudades? (2.5 puntos)

$\textbf{Si elegimos una mujer al azar que ha llegado en autobús al concierto, ¿con qué probabilidad lo ha hecho desde cada una de las cuatro ciudades? (2.5 puntos)}$

Se nombran los sucesos:

$G,\ O,\ A,\ M \equiv$ la persona ha llegado desde Gijón, Oviedo, Avilés o Mieres,

$W \equiv$ la persona elegida es mujer.

Como los autobuses van igual de llenos, la proporción de personas que llega de cada ciudad es la de autobuses, y los porcentajes de mujeres son las probabilidades condicionadas:

$P(G)=0{,}4;\quad P(O)=0{,}3;\quad P(A)=0{,}2;\quad P(M)=0{,}1$

$P(W/G)=P(W/O)=0{,}4;\quad P(W/A)=0{,}6;\quad P(W/M)=0{,}8$



Se pide una probabilidad a posteriori para cada ciudad, así que se aplica el teorema de Bayes. En todas ellas el denominador es el mismo, $P(W)$, que se obtiene por el teorema de la probabilidad total sumando las cuatro ramas que terminan en mujer.

$P(W)=0{,}4\cdot 0{,}4+0{,}3\cdot 0{,}4+0{,}2\cdot 0{,}6+0{,}1\cdot 0{,}8$

$P(W)=0{,}16+0{,}12+0{,}12+0{,}08=0{,}48$

Ahora cada probabilidad pedida es el cociente entre su rama y ese total:

$P(G/W)=\dfrac{0{,}16}{0{,}48}=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}3333$

$P(O/W)=\dfrac{0{,}12}{0{,}48}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$

$P(A/W)=\dfrac{0{,}12}{0{,}48}=\dfrac{1}{4}=0{,}25$

$P(M/W)=\dfrac{0{,}08}{0{,}48}=\dfrac{1}{6}\approx 0{,}1667$

Las cuatro probabilidades suman 1, como tenía que ocurrir por tratarse de un sistema completo de sucesos:

$\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{4+3+3+2}{12}=1$

Elegida al azar una mujer que ha llegado en autobús, la probabilidad de que venga de Gijón es $\frac{1}{3}$, de Oviedo $\frac{1}{4}$, de Avilés $\frac{1}{4}$ y de Mieres $\frac{1}{6}$. Aunque de Avilés llegan menos autobuses que de Oviedo, las dos ciudades aportan la misma proporción de mujeres, porque el mayor porcentaje femenino compensa el menor número de autobuses.