Ejercicio resuelto de Integrales · Matemáticas CCSS · 2024

El diseño del logo de New Summit se ajusta en altura a la gráfica de la siguiente función:

$f(x)=\begin{cases} a\,x^{2} & \text{si } 0\leq x\leq 2, \\ 5-x & \text{si } 2\leq x\leq 5. \end{cases}$



i) Calcula el valor de a. (0.75 puntos)
ii) Calcula el área de las dos regiones de distinto color distinguibles en el logo. (1.75 puntos)

$\textbf{i) Calcula el valor de a. (0.75 puntos)}$

El logo se dibuja de un solo trazo, sin saltos: las dos piezas de la función tienen que empalmar en $x=2$. Se impone, por tanto, que los dos trozos tomen ahí el mismo valor.

$\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=a\cdot 2^{2}=4a$

$\lim_{x\to 2^{+}}f(x)=5-2=3$

$4a=3 \Rightarrow a=\dfrac{3}{4}$

El valor pedido es $a=\dfrac{3}{4}$, con lo que la altura del logo en su punto más alto es de 3 unidades.

$\textbf{ii) Calcula el área de las dos regiones de distinto color distinguibles en el logo. (1.75 puntos)}$

La región coloreada es la que queda bajo la parábola entre $x=0$ y $x=2$, y la región blanca la que queda bajo la recta entre $x=2$ y $x=5$. Las dos funciones son positivas en sus intervalos, de modo que cada área coincide con su integral definida.

$\mathcal{A}_1=\int_{0}^{2}\dfrac{3}{4}x^{2}\,dx=\dfrac{3}{4}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2}=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{8}{3}$

$\mathcal{A}_1=2$

$\mathcal{A}_2=\int_{2}^{5}(5-x)\,dx=\left[5x-\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{2}^{5}$

$=\left(25-\dfrac{25}{2}\right)-\left(10-2\right)=\dfrac{25}{2}-8$

$\mathcal{A}_2=\dfrac{9}{2}=4{,}5$

El segundo resultado se puede comprobar sin integrar: la región blanca es un triángulo rectángulo de base $5-2=3$ y altura 3, cuya área vale $\frac{3\cdot 3}{2}=4{,}5$.

La región coloreada mide 2 unidades de área y la blanca 4,5 unidades de área; el logo entero ocupa 6,5 unidades de área.