Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2024

Encuentra los valores de a y b que hacen que la función dada por

$f(x)=x^{3}-a\,x^{2}-b\,x+1$

cumpla las dos propiedades siguientes: (1.75 puntos)

i) Su derivada vale lo mismo en $x=0$ y en $x=1$.
ii) Tiene un extremo relativo en $x=-1$.

¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica $y=f(x)$ en los puntos de abscisa 0 y 1? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene f en $-1$? (0.75 puntos)

$\textbf{Encuentra los valores de a y b que hacen que la función cumpla las dos propiedades siguientes: (1.75 puntos)}$

Las dos propiedades hablan de la derivada, así que se calcula primero.

$f'(x)=3x^{2}-2a\,x-b$

$\textbf{i) Su derivada vale lo mismo en } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y en } \boldsymbol{x=1}\textbf{.}$

Se igualan los dos valores de la derivada:

$f'(0)=-b;\qquad f'(1)=3-2a-b$

$-b=3-2a-b \Rightarrow 0=3-2a \Rightarrow a=\dfrac{3}{2}$

$\textbf{ii) Tiene un extremo relativo en } \boldsymbol{x=-1}\textbf{.}$

La condición necesaria de extremo relativo es que la derivada se anule en ese punto:

$f'(-1)=0 \Rightarrow 3+2a-b=0 \Rightarrow b=3+2a$

$b=3+2\cdot\dfrac{3}{2}=6$

Los valores pedidos son $a=\dfrac{3}{2}$ y $b=6$.

$\textbf{¿Qué propiedad cumplen las rectas tangentes a la gráfica } \boldsymbol{y=f(x)}\textbf{ en los puntos de abscisa 0 y 1? ¿Qué tipo de extremo relativo (máximo o mínimo) tiene f en } \boldsymbol{-1}\textbf{? (0.75 puntos)}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en él, y la primera propiedad dice justamente que esos dos valores coinciden:

$f'(0)=f'(1)=-6$

Las dos rectas tangentes tienen la misma pendiente, luego son paralelas (y distintas, porque los puntos de tangencia no están alineados con esa dirección).

Para clasificar el extremo se recurre a la segunda derivada:

$f''(x)=6x-2a=6x-3$

$f''(-1)=-6-3=-9<0$

Al ser la segunda derivada negativa, en $x=-1$ la función alcanza un máximo relativo.