Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2024

Definimos la función f mediante

$f(x)=\dfrac{x^{2}-2x+1}{x-2}$

para los valores reales x en los que la expresión tiene sentido. ¿Cuál es su dominio?

Representa la gráfica de f, de forma que se aprecien bien sus asíntotas horizontales y verticales, sus extremos relativos y sus cortes con los ejes de coordenadas. (2.5 puntos)

$\textbf{¿Cuál es su dominio? Representa la gráfica de f, de forma que se aprecien bien sus asíntotas horizontales y verticales, sus extremos relativos y sus cortes con los ejes de coordenadas. (2.5 puntos)}$

Al ser un cociente de polinomios, el dominio son todos los reales salvo los que anulan el denominador.

$x-2=0 \Rightarrow x=2 \Rightarrow \text{Dom } f=\mathbb{R}-\{2\}$

Conviene reescribir la función haciendo la división, porque así se leen de golpe las asíntotas. El numerador es $(x-1)^{2}$ y al dividirlo entre $x-2$ el cociente es $x$ y el resto 1:

$f(x)=\dfrac{(x-1)^{2}}{x-2}=x+\dfrac{1}{x-2}$

En $x=2$ el numerador vale $1\neq 0$ y el denominador se anula, luego hay asíntota vertical:

$\lim_{x\to 2^{-}}f(x)=-\infty;\qquad \lim_{x\to 2^{+}}f(x)=+\infty$

No hay asíntota horizontal, porque el grado del numerador supera en uno al del denominador y la función se va al infinito:

$\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{(x-1)^{2}}{x-2}=\pm\infty$

Lo que sí hay es una asíntota oblicua, que es justamente el cociente de la división, ya que el resto $\frac{1}{x-2}$ tiende a cero:

$\lim_{x\to\pm\infty}\left[f(x)-x\right]=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x-2}=0 \Rightarrow y=x$

Para los extremos se deriva la expresión reescrita, que es mucho más cómoda:

$f'(x)=1-\dfrac{1}{(x-2)^{2}}=\dfrac{(x-2)^{2}-1}{(x-2)^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow (x-2)^{2}=1 \Rightarrow x-2=\pm 1 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de la derivada es el de $(x-2)^{2}-1$:

$f'(0)=1-\dfrac{1}{4}>0;\quad f'\left(\dfrac{3}{2}\right)=1-4<0;\quad f'\left(\dfrac{5}{2}\right)=1-4<0;\quad f'(4)=1-\dfrac{1}{4}>0$



La función crece en $(-\infty,1)$ y en $(3,+\infty)$, y decrece en $(1,2)$ y en $(2,3)$. Hay, por tanto, un máximo relativo en $x=1$ y un mínimo relativo en $x=3$:

$f(1)=\dfrac{0}{-1}=0;\qquad f(3)=\dfrac{4}{1}=4$

Los cortes con los ejes son:

$x=0 \Rightarrow f(0)=\dfrac{1}{-2}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow \left(0,-\dfrac{1}{2}\right)$

$f(x)=0 \Rightarrow (x-1)^{2}=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow (1,0)$

El único corte con el eje de abscisas es el propio máximo relativo, donde la curva toca al eje sin atravesarlo, porque el numerador es un cuadrado.



El dominio es $\mathbb{R}-\{2\}$; la única asíntota vertical es $x=2$ y no hay asíntota horizontal, sino la oblicua $y=x$; el máximo relativo está en $(1,0)$ y el mínimo relativo en $(3,4)$; la gráfica corta a los ejes en $(1,0)$ y $\left(0,-\frac{1}{2}\right)$.