Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Un artesano fabrica hilo de algodón ecológico e hilo de lino de alta calidad, y planifica su trabajo para los próximos tres días. Cada metro de algodón le lleva una hora de trabajo, y para cada metro de lino necesita tres horas. No quiere emplear más de 21 horas en su tarea. El coste de fabricación es de dos monedas por metro de algodón y de una por metro de lino, y no puede gastar más de 12 monedas en la tarea. Su beneficio por metro de algodón es de 3 monedas, y por metro de lino es de 5 monedas.

¿Cuántos metros debe fabricar de cada clase para maximizar su beneficio?

Estudia cómo cambiaría la respuesta si el beneficio por metro de lino fuera el doble del que se ha dicho antes. (2.5 puntos)

$\textbf{¿Cuántos metros debe fabricar de cada clase para maximizar su beneficio? Estudia cómo cambiaría la respuesta si el beneficio por metro de lino fuera el doble del que se ha dicho antes. (2.5 puntos)}$

Se llama $x$ a los metros de hilo de algodón e $y$ a los metros de hilo de lino. Se ordenan en una tabla las horas, el coste y el beneficio.

$$	$\text{Horas}$	$\text{Coste (monedas)}$	$\text{Beneficio (monedas)}$
Algodón $(x)$	$x$	$2x$	$3x$
Lino $(y)$	$3y$	$y$	$5y$
Disponible	$21$	$12$	$$

La función objetivo es el beneficio y las restricciones son las horas de trabajo y el dinero disponible:

$\text{Maximizar } B(x,y)=3x+5y \text{ sujeto a } \begin{cases} x+3y\leq 21 \\ 2x+y\leq 12 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$

El origen cumple las dos desigualdades, así que los semiplanos válidos son los que lo contienen y la región factible es el cuadrilátero coloreado en azul.



Los vértices se obtienen cortando las rectas frontera dos a dos:

$\begin{cases} y=0 \\ 2x+y=12 \end{cases} \Rightarrow A(6,0);\qquad \begin{cases} x=0 \\ x+3y=21 \end{cases} \Rightarrow C(0,7)$

$\begin{cases} x+3y=21 \\ 2x+y=12 \end{cases} \Rightarrow y=12-2x \Rightarrow x+36-6x=21 \Rightarrow x=3 \Rightarrow B(3,6)$

Se valora el beneficio en los cuatro vértices:

$B(0,0)=0;\quad B(6,0)=18;\quad B(3,6)=9+30=39;\quad B(0,7)=35$

El artesano debe fabricar 3 metros de hilo de algodón y 6 metros de hilo de lino, con lo que obtiene un beneficio máximo de 39 monedas.

Si el beneficio del lino se duplica, la región factible no cambia —las restricciones son las mismas— y solo hay que volver a valorar la nueva función objetivo $B_2(x,y)=3x+10y$ en los mismos cuatro vértices:

$B_2(0,0)=0;\quad B_2(6,0)=18;\quad B_2(3,6)=9+60=69;\quad B_2(0,7)=70$

Ahora el máximo se alcanza en $C(0,7)$: al valer tanto más el lino compensa dedicar todas las horas a él y no fabricar nada de algodón. La respuesta cambia a 0 metros de algodón y 7 metros de lino, con un beneficio de 70 monedas.