Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Sea la matriz $M=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$.

Elige una matriz A cuadrada de orden 2 tal que, de sus cuatro componentes, tres valen 1 y la otra vale $-1$. Escribe explícitamente tu matriz A, y encuentra entonces la matriz X que cumple que $A\,X=M$.

¿Cuánto valen los determinantes de las matrices A y X? (2.5 puntos)

$\textbf{Escribe explícitamente tu matriz A, y encuentra entonces la matriz X que cumple que } \boldsymbol{A\,X=M}\textbf{. ¿Cuánto valen los determinantes de las matrices A y X? (2.5 puntos)}$

Entre las cuatro matrices posibles se elige, por ejemplo, la que lleva el $-1$ en la esquina inferior derecha:

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

Antes de despejar hay que asegurarse de que $A$ tiene inversa, es decir, de que su determinante no es nulo.

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix}=-1-1=-2\neq 0$

Se despeja $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa de $A$, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$:

$A\,X=M \Rightarrow X=A^{-1}M$

En una matriz de orden 2 la inversa se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal, cambiando de signo los de la secundaria y dividiendo por el determinante:

$A^{-1}=\dfrac{1}{-2}\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado:

$A\,X=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1-1 & 1+1 \\ 1+1 & 1-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}=M$

Los determinantes valen

$|A|=-2;\qquad |X|=\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix}=1+1=2$

El resultado no depende de la matriz elegida. Como el determinante de un producto es el producto de los determinantes,

$|A|\cdot|X|=|M|=\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 2 & 0 \end{vmatrix}=-4$

y cualquiera de las cuatro matrices con tres unos y un $-1$ tiene determinante $\pm 2$, de modo que la $X$ correspondiente tiene determinante $\mp 2$: los dos determinantes son siempre $2$ y $-2$ en algún orden, y su producto vale $-4$.