Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

La duración, en horas, de un tipo de bombilla sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica igual a 250 horas. Se pide:

a) Se toma una muestra aleatoria de 100 bombillas y la duración media de estas bombillas ha sido 2000 horas. Calcula un intervalo de confianza del 95 % para la media $\mu$. (1 punto)
b) Calcula el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que al estimar $\mu$, con el mismo nivel de confianza, el error sea inferior a 20 horas. (1 punto)

Se llama $X$ a la duración, en horas, de una bombilla. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 250)$

$\textbf{a) Se toma una muestra aleatoria de 100 bombillas y la duración media de estas bombillas ha sido 2000 horas. Calcula un intervalo de confianza del 95 \% para la media } \boldsymbol{\mu}\textbf{. (1 punto)}$

Como la población es normal y se conoce la desviación típica, el intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico correspondiente al 95 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}95 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}025 \Rightarrow P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}975 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}96$



$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}96\cdot\dfrac{250}{10}=49$

$\left(2000-49,\ 2000+49\right)=\left(1951,\ 2049\right)$

El intervalo de confianza al 95 % para la duración media de las bombillas es $(1951,\ 2049)$ horas.

$\textbf{b) Calcula el tamaño mínimo que debe tener la muestra para que al estimar } \boldsymbol{\mu}\textbf{, con el mismo nivel de confianza, el error sea inferior a 20 horas. (1 punto)}$

Se impone que el error sea menor que 20 horas y se despeja el tamaño de la muestra. El valor crítico es el mismo, porque el nivel de confianza no cambia.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}<20 \Rightarrow 1{,}96\cdot\dfrac{250}{\sqrt{n}}<20$

$\sqrt{n}>\dfrac{1{,}96\cdot 250}{20}=24{,}5$

$n>24{,}5^{2}=600{,}25$

Como el tamaño de la muestra es un número natural, se toma el primer entero que cumple la desigualdad estricta.

El tamaño mínimo de la muestra es de 601 bombillas.