Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

De dos sucesos A y B sabemos que $P(A)=\dfrac{1}{4}$, $P(A\cap B)=\dfrac{1}{8}$ y que, además, A y B son independientes. Calcula $P(B)$, $P(A\cup B)$, $P(A/B)$ y $P(\overline{A}/B)$. (1 punto)

$\overline{A}$ representa el suceso complementario o contrario de A.

Del enunciado se conocen la probabilidad de $A$, la de la intersección y el hecho de que los dos sucesos son independientes:

$P(A)=\dfrac{1}{4};\qquad P(A\cap B)=\dfrac{1}{8}$

La independencia significa que la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades, y de ahí sale $P(B)$.

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \Rightarrow \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{4}\cdot P(B)$

$P(B)=\dfrac{1}{8}\cdot 4=\dfrac{1}{2}$

Con las tres probabilidades ya se reparten las cuatro zonas del diagrama: solo $A$ vale $\frac{1}{4}-\frac{1}{8}=\frac{1}{8}$, la intersección $\frac{1}{8}$, solo $B$ vale $\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=\frac{3}{8}$ y ninguno de los dos, $\frac{3}{8}$.



La unión se obtiene con la fórmula habitual:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}$

$P(A\cup B)=\dfrac{2+4-1}{8}=\dfrac{5}{8}$

La condicionada se calcula por su definición:

$P(A/B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{4}$

El resultado coincide con $P(A)$, como tenía que ocurrir: saber que ha ocurrido $B$ no cambia la probabilidad de $A$ porque los sucesos son independientes.

Por último, el contrario de $A$ condicionado a $B$ es el complementario dentro del espacio reducido:

$P(\overline{A}/B)=1-P(A/B)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

Las probabilidades pedidas son $P(B)=\dfrac{1}{2}$, $P(A\cup B)=\dfrac{5}{8}$, $P(A/B)=\dfrac{1}{4}$ y $P(\overline{A}/B)=\dfrac{3}{4}$.