Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Un empresario ha realizado un estudio para analizar la evolución de su negocio durante 6 meses. Los ingresos, en miles de euros, vienen dados por la función

$f(t)=t^{3}-3t+10, \qquad 0\leq t\leq 6$

siendo t los meses transcurridos desde el inicio del estudio. Se pide:

a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Calcula cuándo los ingresos han sido máximos y cuándo mínimos en el intervalo de tiempo considerado, $[0,6]$, e indica cuándo se han alcanzado. (1,25 puntos)
b) Calcula en qué momento los ingresos han sido de 12000 euros. (0,25 puntos)
c) Representa gráficamente la función en el intervalo $[0,6]$. (0,75 puntos)
d) Calcula en qué punto de la gráfica anterior, la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto es igual a 9. Indica la ecuación de dicha recta. (0,75 puntos)

$\textbf{a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función. Calcula cuándo los ingresos han sido máximos y cuándo mínimos en el intervalo de tiempo considerado, } \boldsymbol{[0,6]}\textbf{, e indica cuándo se han alcanzado. (1,25 puntos)}$

Se deriva la función y se iguala a cero.

$f'(t)=3t^{2}-3=3\left(t^{2}-1\right)$

$f'(t)=0 \Rightarrow t^{2}=1 \Rightarrow t=\pm 1$

Se descarta $t=-1$ porque el tiempo transcurrido cumple $0\leq t\leq 6$. Se estudia el signo de la derivada a un lado y a otro del punto crítico:

$f'(0)=-3<0;\qquad f'(2)=12-3=9>0$



Los ingresos decrecen en $(0,1)$ y crecen en $(1,6)$.

Como la función es continua en el intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre el punto crítico y los bordes:

$f(0)=10;\qquad f(1)=1-3+10=8;\qquad f(6)=216-18+10=208$

Los ingresos mínimos son de 8 miles de euros —8000 euros— y se alcanzan al cabo de 1 mes; los máximos son de 208 miles de euros —208 000 euros— y se alcanzan al final del periodo, a los 6 meses.

$\textbf{b) Calcula en qué momento los ingresos han sido de 12000 euros. (0,25 puntos)}$

Los ingresos vienen en miles de euros, así que 12 000 euros son 12 unidades de la función.

$f(t)=12 \Rightarrow t^{3}-3t+10=12 \Rightarrow t^{3}-3t-2=0$

Se busca una raíz entera entre los divisores del término independiente y se factoriza por Ruffini:

$t^{3}-3t-2=(t+1)^{2}(t-2)$

$(t+1)^{2}(t-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} t=-1 \\ t=2 \end{cases}$

Se descarta $t=-1$ por no pertenecer al intervalo de estudio.

Los ingresos han sido de 12 000 euros a los 2 meses del inicio del estudio.

$\textbf{c) Representa gráficamente la función en el intervalo } \boldsymbol{[0,6]}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Con el estudio del apartado a) —decreciente hasta el mes 1 y creciente a partir de ahí— y los valores $f(0)=10$, $f(1)=8$, $f(2)=12$ y $f(6)=208$ ya se puede trazar la curva. El descenso inicial es muy pequeño frente al crecimiento posterior, de modo que en la gráfica apenas se aprecia.



$\textbf{d) Calcula en qué punto de la gráfica anterior, la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto es igual a 9. Indica la ecuación de dicha recta. (0,75 puntos)}$

La pendiente de la recta tangente en un punto es el valor de la derivada en él, así que se impone que la derivada valga 9.

$f'(t)=9 \Rightarrow 3t^{2}-3=9 \Rightarrow 3t^{2}=12 \Rightarrow t^{2}=4 \Rightarrow t=\pm 2$

Se descarta $t=-2$ por no pertenecer al intervalo de estudio.

$f(2)=8-6+10=12$

El punto de tangencia es $(2,12)$. Se escribe la recta en la forma punto-pendiente:

$y-f(2)=f'(2)(t-2) \Rightarrow y-12=9(t-2)$

$y=9t-18+12$

En el punto $(2,12)$ de la gráfica la pendiente de la tangente vale 9, y la ecuación de esa recta tangente es $y=9t-6$.