Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Sea la función $f(x)=x^{3}+a\,x^{2}+36x+5$, siendo a un número real. Se pide:

a) Calcula el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $(2,f(2))$ tenga por ecuación $y=37$. Estudia si la función posee un máximo o un mínimo relativo en $x=2$. (1 punto)
b) Calcula el valor de a para que haya un cambio de concavidad de la función en $x=5$. (1 punto)
c) Qué valor debe tomar a para que se verifique la igualdad $\displaystyle\int_{2}^{4}(3x^{2}+2a\,x+36)\,dx=152$. (1 punto)

$\textbf{a) Calcula el valor de a para que la recta tangente a la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el punto } \boldsymbol{(2,f(2))}\textbf{ tenga por ecuación } \boldsymbol{y=37}\textbf{. Estudia si la función posee un máximo o un mínimo relativo en } \boldsymbol{x=2}\textbf{. (1 punto)}$

La recta $y=37$ es horizontal, de pendiente nula, así que la condición sobre la tangente es que la derivada se anule en $x=2$.

$f'(x)=3x^{2}+2a\,x+36$

$f'(2)=0 \Rightarrow 12+4a+36=0 \Rightarrow 4a=-48 \Rightarrow a=-12$

Conviene comprobar que con ese valor la curva pasa realmente por el punto de tangencia:

$f(2)=8-12\cdot 4+72+5=8-48+72+5=37$

Para saber qué tipo de extremo hay se recurre a la segunda derivada.

$f''(x)=6x+2a=6x-24 \Rightarrow f''(2)=12-24=-12<0$

Para $a=-12$ la recta tangente en $(2,37)$ es $y=37$, y como la segunda derivada es negativa la función alcanza en $x=2$ un máximo relativo.



$\textbf{b) Calcula el valor de a para que haya un cambio de concavidad de la función en } \boldsymbol{x=5}\textbf{. (1 punto)}$

Un cambio de concavidad es un punto de inflexión, y la condición necesaria es que la segunda derivada se anule.

$f''(x)=6x+2a$

$f''(5)=0 \Rightarrow 30+2a=0 \Rightarrow a=-15$

Hay que comprobar que el cambio se produce de verdad. Con $a=-15$ la segunda derivada es $f''(x)=6x-30$, una recta creciente que corta al eje en $x=5$:

$f''(4)=-6<0;\qquad f''(6)=6>0$

La segunda derivada cambia de signo, luego el valor pedido es $a=-15$.

$\textbf{c) Qué valor debe tomar a para que se verifique la igualdad } \boldsymbol{\int_{2}^{4}(3x^{2}+2a\,x+36)\,dx=152}\textbf{. (1 punto)}$

El integrando es la derivada de la función, así que una primitiva es la propia $f$ sin el término independiente. Se aplica la regla de Barrow.

$\int_{2}^{4}\left(3x^{2}+2a\,x+36\right)dx=\left[x^{3}+a\,x^{2}+36x\right]_{2}^{4}$

$=\left(64+16a+144\right)-\left(8+4a+72\right)$

$=208+16a-80-4a=128+12a$

Se iguala al valor que pide el enunciado y se despeja:

$128+12a=152 \Rightarrow 12a=24 \Rightarrow a=2$

El valor del parámetro para el que se cumple la igualdad es $a=2$.