Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dadas las matrices $A=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}$ y $B=\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}$, se pide:

a) Demuestra que se cumple la igualdad $A\,A^{T}=I_{2}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. (0,5 puntos)
b) Calcula una matriz X para que se cumpla la igualdad $X\,A+B=B\,A$. (1,5 puntos)

$A^{T}$ representa la matriz traspuesta de A.

$\textbf{a) Demuestra que se cumple la igualdad } \boldsymbol{A\,A^{T}=I_{2}}\textbf{. (0,5 puntos)}$

La traspuesta se obtiene cambiando filas por columnas, y el factor $\frac{1}{5}$ no se ve afectado.

$A^{T}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}$

$A\,A^{T}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} 9+16 & 12-12 \\ 12-12 & 16+9 \end{pmatrix}$

$A\,A^{T}=\dfrac{1}{25}\begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=I_{2}$

Queda demostrada la igualdad. De ella se deduce además que $A^{-1}=A^{T}$, cosa que se usará en el apartado siguiente.

$\textbf{b) Calcula una matriz X para que se cumpla la igualdad } \boldsymbol{X\,A+B=B\,A}\textbf{. (1,5 puntos)}$

Se despeja $X$ pasando $B$ al segundo miembro y multiplicando después por la derecha por la inversa de $A$, que es el lado por el que $A$ multiplica a $X$:

$X\,A=B\,A-B$

$X=\left(B\,A-B\right)A^{-1}=\left(B\,A-B\right)A^{T}$

Se calcula primero $B\,A$:

$B\,A=\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 15+40 & -20+30 \\ 0+80 & 0+60 \end{pmatrix}$

$B\,A=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 55 & 10 \\ 80 & 60 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 & 2 \\ 16 & 12 \end{pmatrix}$

$B\,A-B=\begin{pmatrix} 11 & 2 \\ 16 & 12 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 & -8 \\ 16 & -8 \end{pmatrix}$

$X=\begin{pmatrix} 6 & -8 \\ 16 & -8 \end{pmatrix}\cdot\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ -4 & 3 \end{pmatrix}=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 18+32 & 24-24 \\ 48+32 & 64-24 \end{pmatrix}$

$X=\dfrac{1}{5}\begin{pmatrix} 50 & 0 \\ 80 & 40 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 16 & 8 \end{pmatrix}$

Se comprueba el resultado en la ecuación de partida:

$X\,A+B=\begin{pmatrix} 6 & -8 \\ 16 & -8 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 0 & 20 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 & 2 \\ 16 & 12 \end{pmatrix}=B\,A$

La matriz pedida es $X=\begin{pmatrix} 10 & 0 \\ 16 & 8 \end{pmatrix}$.