Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica y vende dos modelos de armarios de oficina A y B. Para fabricar un armario del modelo A se necesitan 3 horas para su construcción y 4 horas de pintura; cada uno del modelo B, necesita para estos procesos 6 y 2 horas respectivamente. La empresa dispone semanalmente de un máximo de 60 horas para la construcción de estos armarios y de un máximo de 32 horas para la pintura. Cada armario modelo A genera un beneficio de 200 euros y cada uno del modelo B, 300 euros. A la empresa le interesa saber cuántos armarios de cada tipo debe fabricar para maximizar su beneficio. Se pide:

a) Plantea el problema de programación lineal que permita calcular cuántos armarios de cada tipo se deben producir para maximizar el beneficio. (0,5 puntos)
b) Representa la región factible. (0,5 puntos)
c) Indica cuáles son las coordenadas de los vértices de dicha región. (0,5 puntos)
d) Indica cuántos armarios de cada tipo deben fabricarse para maximizar el beneficio. Indica el valor de dicho beneficio máximo. (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el problema de programación lineal que permita calcular cuántos armarios de cada tipo se deben producir para maximizar el beneficio. (0,5 puntos)}$

Se llama $x$ al número de armarios del modelo A e $y$ al del modelo B que se fabrican cada semana. Se ordenan en una tabla las horas de cada proceso y el beneficio.

$$	$\text{Horas de construcción}$	$\text{Horas de pintura}$	$\text{Beneficio (euros)}$
Modelo A $(x)$	$3x$	$4x$	$200x$
Modelo B $(y)$	$6y$	$2y$	$300y$
Disponible	$60$	$32$	$$

La función objetivo, que hay que maximizar, es el beneficio semanal:

$B(x,y)=200x+300y$

Las restricciones son las horas disponibles de cada proceso y la no negatividad del número de armarios:

$3x+6y\leq 60 \Rightarrow x+2y\leq 20$

$4x+2y\leq 32 \Rightarrow 2x+y\leq 16$

$x\geq 0;\qquad y\geq 0$

El problema queda planteado así:

$\text{Maximizar } B(x,y)=200x+300y \text{ sujeto a } \begin{cases} x+2y\leq 20 \\ 2x+y\leq 16 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Representa la región factible. (0,5 puntos)}$

Se dibuja la recta frontera de cada restricción a partir de sus cortes con los ejes y se toma el semiplano que la cumple.

$3x+6y=60$	$4x+2y=32$
$(20,0)$	$(8,0)$
$(0,10)$	$(0,16)$

El origen cumple las dos desigualdades, de modo que los semiplanos válidos son los que lo contienen. Junto con las condiciones de no negatividad, la región factible es el cuadrilátero coloreado en azul.



$\textbf{c) Indica cuáles son las coordenadas de los vértices de dicha región. (0,5 puntos)}$

Cada vértice es el corte de dos de las rectas frontera.

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

$\begin{cases} y=0 \\ 2x+y=16 \end{cases} \Rightarrow 2x=16 \Rightarrow x=8 \Rightarrow A(8,0)$

$\begin{cases} x+2y=20 \\ 2x+y=16 \end{cases}$

Se multiplica la segunda ecuación por $2$ y se resta la primera:

$4x+2y=32 \Rightarrow 3x=12 \Rightarrow x=4$

$y=16-2\cdot 4=8 \Rightarrow B(4,8)$

$\begin{cases} x=0 \\ x+2y=20 \end{cases} \Rightarrow 2y=20 \Rightarrow y=10 \Rightarrow C(0,10)$

Los vértices de la región factible son $O(0,0)$, $A(8,0)$, $B(4,8)$ y $C(0,10)$.

$\textbf{d) Indica cuántos armarios de cada tipo deben fabricarse para maximizar el beneficio. Indica el valor de dicho beneficio máximo. (0,5 puntos)}$

La región es acotada y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en uno de los vértices. Se valora el beneficio en los cuatro.

$B(0,0)=0$

$B(8,0)=200\cdot 8+300\cdot 0=1600$

$B(4,8)=200\cdot 4+300\cdot 8=800+2400=3200$

$B(0,10)=200\cdot 0+300\cdot 10=3000$

El máximo se alcanza en el vértice $B(4,8)$. La empresa debe fabricar 4 armarios del modelo A y 8 del modelo B a la semana, con un beneficio máximo de 3200 euros.