Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El peso de las mujeres estudiantes de cierta universidad sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 6 kg. Se pide: (2 puntos)

a) Se toma una muestra aleatoria con 64 mujeres de dicha universidad y la media de sus pesos es 66 kg. Calcula un intervalo de confianza al 99 % para la media $\mu$.
b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que al estimar $\mu$ con la media muestral al mismo nivel de confianza, el error sea a lo sumo de 2 kg?

Se llama $X$ al peso, en kilogramos, de una estudiante. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 6)$

$\textbf{a) Se toma una muestra aleatoria con 64 mujeres de dicha universidad y la media de sus pesos es 66 kg. Calcula un intervalo de confianza al 99 \% para la media } \boldsymbol{\mu}\textbf{. (1 punto)}$

Como la población es normal y se conoce la desviación típica, el intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla el valor crítico correspondiente al 99 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}99 \Rightarrow \alpha=0{,}01 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}005$

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=0{,}995$

La tabla da $0{,}9949$ para $z=2{,}57$ y $0{,}9951$ para $z=2{,}58$, así que se toma el valor intermedio $z_{\alpha/2}=2{,}575$.



$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=2{,}575\cdot\dfrac{6}{8}=1{,}93$

$\left(66-1{,}93,\ 66+1{,}93\right)=\left(64{,}07,\ 67{,}93\right)$

El intervalo de confianza al 99 % para el peso medio de las estudiantes es $(64{,}07;\ 67{,}93)$ kilogramos.

$\textbf{b) ¿Qué tamaño mínimo debe tener la muestra para que al estimar } \boldsymbol{\mu}\textbf{ con la media muestral al mismo nivel de confianza, el error sea a lo sumo de 2 kg?}$

Se impone que el error no supere los 2 kilogramos y se despeja el tamaño de la muestra. El valor crítico es el mismo, porque el nivel de confianza no cambia.

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\leq 2 \Rightarrow 2{,}575\cdot\dfrac{6}{\sqrt{n}}\leq 2$

$\sqrt{n}\geq\dfrac{2{,}575\cdot 6}{2}=7{,}725$

$n\geq 7{,}725^{2}=59{,}67$

Como el tamaño de la muestra es un número natural, se toma el primer entero que cumple la desigualdad.

El tamaño mínimo de la muestra es de 60 estudiantes.