Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas CCSS · 2025

El peso, en gramos, de un cierto tipo de cobayas sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 100 gramos. Se pide: (2 puntos)

a) Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 cobayas y su peso medio ha sido de 255 gramos. Calcula un intervalo de confianza del 93 % para estimar $\mu$.
b) Supongamos que $\mu=250$ gramos: si se considera una muestra aleatoria con 25 cobayas, calcula la probabilidad de que el peso medio de la muestra se encuentre entre 230 gramos y 280 gramos.

Se llama $X$ al peso, en gramos, de una cobaya. Según el enunciado

$X\sim N(\mu,\ 100)$

$\textbf{a) Se ha tomado una muestra aleatoria de 100 cobayas y su peso medio ha sido de 255 gramos. Calcula un intervalo de confianza del 93 \% para estimar } \boldsymbol{\mu}\textbf{.}$

Como la población es normal y se conoce la desviación típica, el intervalo de confianza para la media es

$\left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}},\ \overline{x}+z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$

Se busca en la tabla de la $N(0,1)$ el valor crítico correspondiente al 93 % de confianza:

$1-\alpha=0{,}93 \Rightarrow \alpha=0{,}07 \Rightarrow \dfrac{\alpha}{2}=0{,}035$

$P(Z\leq z_{\alpha/2})=1-0{,}035=0{,}965 \Rightarrow z_{\alpha/2}=1{,}81$



Se calcula el error máximo admisible con $n=100$ y $\sigma=100$:

$E=z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}=1{,}81\cdot\dfrac{100}{10}=18{,}1$

$\left(255-18{,}1,\ 255+18{,}1\right)=\left(236{,}9,\ 273{,}1\right)$

El intervalo de confianza al 93 % para el peso medio de las cobayas es $(236{,}9;\ 273{,}1)$ gramos.

$\textbf{b) Supongamos que } \boldsymbol{\mu=250}\textbf{ gramos: si se considera una muestra aleatoria con 25 cobayas, calcula la probabilidad de que el peso medio de la muestra se encuentre entre 230 gramos y 280 gramos.}$

Ahora la variable de estudio no es el peso de una cobaya sino la media de la muestra. Por el teorema central del límite, al ser la población normal la media muestral también lo es, con la misma media y desviación típica dividida por la raíz del tamaño:

$\overline{X}\sim N\left(\mu,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)=N\left(250,\dfrac{100}{\sqrt{25}}\right)=N(250,\ 20)$

Se tipifican los dos extremos del intervalo:

$P\left(230<\overline{X}<280\right)=P\left(\dfrac{230-250}{20}<Z<\dfrac{280-250}{20}\right)$

$=P(-1<Z<1{,}5)=P(Z\leq 1{,}5)-P(Z\leq -1)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que la cola de la izquierda se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$P(Z\leq -1)=1-P(Z\leq 1)=1-0{,}8413=0{,}1587$

$P(-1<Z<1{,}5)=0{,}9332-0{,}1587=0{,}7745$



La probabilidad de que el peso medio de una muestra de 25 cobayas esté entre 230 y 280 gramos es $0{,}7745$, es decir, un 77,45 %.