Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

El beneficio de una empresa, expresado en miles de euros, a lo largo de 6 meses viene dado por la función

$f(t)=t^{3}-9t^{2}+24t+8, \qquad 0\leq t\leq 6$

siendo t el número de meses transcurridos. Se pide:

a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio. Calcula en qué mes ha obtenido la empresa el máximo beneficio en el intervalo de tiempo considerado, $[0,6]$, y cuál es valor de dicho beneficio. (1 punto)
b) Estudia si hay o no puntos de inflexión y en el caso de haberlos, calcúlalos. Representa gráficamente la función en el intervalo $[0,6]$. (1 punto)
c) Calcula el área limitada por la gráfica de f, el eje X y las rectas $x=0$ y $x=2$. (1 punto)

$\textbf{a) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento del beneficio. Calcula en qué mes ha obtenido la empresa el máximo beneficio en el intervalo de tiempo considerado, } \boldsymbol{[0,6]}\textbf{, y cuál es valor de dicho beneficio. (1 punto)}$

Se deriva la función y se iguala a cero para localizar los puntos críticos.

$f'(t)=3t^{2}-18t+24=3\left(t^{2}-6t+8\right)$

$f'(t)=0 \Rightarrow t=\dfrac{6\pm\sqrt{36-32}}{2}=\dfrac{6\pm 2}{2} \Rightarrow \begin{cases} t=2 \\ t=4 \end{cases}$

Se estudia el signo de la derivada en los tramos que determinan dentro de $[0,6]$:

$f'(1)=3-18+24=9>0;\qquad f'(3)=27-54+24=-3<0;\qquad f'(5)=75-90+24=9>0$



El beneficio crece en $(0,2)$, decrece en $(2,4)$ y vuelve a crecer en $(4,6)$.

Para el máximo absoluto en el intervalo cerrado hay que comparar el máximo relativo con los valores de los extremos, porque la función vuelve a crecer hasta el final del periodo:

$f(0)=8;\quad f(2)=8-36+48+8=28;\quad f(4)=64-144+96+8=24;\quad f(6)=216-324+144+8=44$

El mayor de los cuatro es $44$. El beneficio máximo del periodo se alcanza en el mes 6 y vale 44 miles de euros, es decir, 44 000 euros. El máximo del mes 2 es solo relativo: al final del periodo la empresa gana más.

$\textbf{b) Estudia si hay o no puntos de inflexión y en el caso de haberlos, calcúlalos. Representa gráficamente la función en el intervalo } \boldsymbol{[0,6]}\textbf{. (1 punto)}$

Los puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de curvatura, así que se anula la segunda derivada.

$f''(t)=6t-18$

$f''(t)=0 \Rightarrow 6t=18 \Rightarrow t=3$

Se comprueba que hay cambio efectivo de curvatura evaluando la segunda derivada a un lado y a otro:

$f''(2)=-6<0 \text{ (cóncava)};\qquad f''(4)=6>0 \text{ (convexa)}$

$f(3)=27-81+72+8=26$

Hay un punto de inflexión en $(3,26)$. Con el máximo relativo $(2,28)$, el mínimo relativo $(4,24)$, la inflexión y los valores de los extremos ya se puede trazar la curva.



$\textbf{c) Calcula el área limitada por la gráfica de f, el eje X y las rectas } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=2}\textbf{. (1 punto)}$

En el intervalo $[0,2]$ la función es creciente y arranca en $f(0)=8>0$, de modo que no corta al eje de abscisas y el recinto queda entero por encima de él. El área coincide entonces con la integral definida.



$\mathcal{A}=\int_{0}^{2}\left(t^{3}-9t^{2}+24t+8\right)dt=\left[\dfrac{t^{4}}{4}-3t^{3}+12t^{2}+8t\right]_{0}^{2}$

$=\left(\dfrac{16}{4}-24+48+16\right)-0=4-24+48+16$

$\mathcal{A}=44$

El área limitada por la gráfica de $f$, el eje X y las rectas $x=0$ y $x=2$ es de 44 unidades de área.