Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas CCSS · 2025

Dada la función $f(x)=x^{3}+a\,x^{2}+21x+b$, siendo a y b números reales, se pide:

a) Calcula qué valores deben tomar a y b para que $f(x)$ tenga un extremo relativo en $x=1$ y la gráfica de $f(x)$ pase por el punto $(0,3)$. (0,75 puntos)
b) Para $a=-12$ y $b=100$: calcula los máximos y mínimos, relativos y absolutos, de $f(x)$ en el intervalo cerrado $[0,8]$. (1,25 puntos)
c) Calcula el valor que debe tomar a para que se cumpla la igualdad $\displaystyle\int_{0}^{2}(3x^{2}+2a\,x+21)\,dx=30$. (1 punto)

$\textbf{a) Calcula qué valores deben tomar a y b para que } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ tenga un extremo relativo en } \boldsymbol{x=1}\textbf{ y la gráfica de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ pase por el punto } \boldsymbol{(0,3)}\textbf{. (0,75 puntos)}$

La condición necesaria de extremo relativo es que la derivada se anule en ese punto.

$f'(x)=3x^{2}+2a\,x+21$

$f'(1)=0 \Rightarrow 3+2a+21=0 \Rightarrow 2a=-24 \Rightarrow a=-12$

Que la gráfica pase por $(0,3)$ significa que $f(0)=3$, y al sustituir $x=0$ solo sobrevive el término independiente:

$f(0)=0+0+0+b=b=3 \Rightarrow b=3$

Los valores pedidos son $a=-12$ y $b=3$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=-12}\textbf{ y } \boldsymbol{b=100}\textbf{: calcula los máximos y mínimos, relativos y absolutos, de } \boldsymbol{f(x)}\textbf{ en el intervalo cerrado } \boldsymbol{[0,8]}\textbf{. (1,25 puntos)}$

Con esos valores la función es $f(x)=x^{3}-12x^{2}+21x+100$. Se deriva y se iguala a cero.

$f'(x)=3x^{2}-24x+21=3\left(x^{2}-8x+7\right)$

$f'(x)=0 \Rightarrow x=\dfrac{8\pm\sqrt{64-28}}{2}=\dfrac{8\pm 6}{2} \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=7 \end{cases}$

Los dos puntos críticos están en $[0,8]$. Se estudia el signo de la derivada en los tramos que determinan:

$f'(0)=21>0;\qquad f'(4)=48-96+21=-27<0;\qquad f'(8)=192-192+21=21>0$



En $x=1$ la función pasa de crecer a decrecer y en $x=7$ de decrecer a crecer, luego hay un máximo relativo en el primero y un mínimo relativo en el segundo.

$f(1)=1-12+21+100=110;\qquad f(7)=343-588+147+100=2$

Los extremos relativos son el máximo $(1,110)$ y el mínimo $(7,2)$.

Como la función es continua en el intervalo cerrado, los extremos absolutos están entre los relativos y los valores en los bordes, así que hay que evaluar también estos últimos:

$f(0)=100;\qquad f(8)=512-768+168+100=12$

Comparando los cuatro valores, el mayor es $110$ y el menor $2$. En el intervalo $[0,8]$ la función alcanza su máximo absoluto en $(1,110)$ y su mínimo absoluto en $(7,2)$, que coinciden con los extremos relativos.

$\textbf{c) Calcula el valor que debe tomar a para que se cumpla la igualdad } \boldsymbol{\int_{0}^{2}(3x^{2}+2a\,x+21)\,dx=30}\textbf{. (1 punto)}$

El integrando es precisamente la derivada de la función, así que una primitiva es la propia $f$ sin el término independiente. Se aplica la regla de Barrow.

$\int_{0}^{2}\left(3x^{2}+2a\,x+21\right)dx=\left[x^{3}+a\,x^{2}+21x\right]_{0}^{2}$

$=\left(8+4a+42\right)-0=50+4a$

Se iguala al valor que pide el enunciado y se despeja:

$50+4a=30 \Rightarrow 4a=-20 \Rightarrow a=-5$

El valor del parámetro para el que se cumple la igualdad es $a=-5$.