Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas CCSS

Un grupo de niños de una clase han reunido, para vender en el mercadillo solidario de su colegio, objetos de tres tipos: imanes para nevera, bolas navideñas y llaveros. Cada imán lo han vendido a 1 euro, cada bola navideña, a 1,50 euros y cada llavero, a 2 euros. Han vendido todos los objetos que habían reunido y de dicha venta han obtenido un total de 87 euros. El número de bolas navideñas representaba el 80 % del número de imanes; con la venta de las bolas de Navidad han obtenido 2 euros menos que con la venta de los llaveros. Calcula el número de objetos de cada tipo (imanes, bolas y llaveros) que han vendido. (2 puntos)

Se llama $x$ al número de imanes, $y$ al de bolas navideñas y $z$ al de llaveros vendidos. Se ordena en una tabla el precio de cada objeto y la recaudación que aporta.

$\text{Objeto}$	$\text{Unidades}$	$\text{Precio (euros)}$	$\text{Recaudación}$
Imanes	$x$	$1$	$x$
Bolas navideñas	$y$	$1{,}5$	$1{,}5y$
Llaveros	$z$	$2$	$2z$
Total			$87$

Se traduce a ecuaciones cada condición del enunciado.

Con la venta de todos los objetos se obtuvieron 87 euros:

$x+1{,}5y+2z=87$

El número de bolas era el 80 % del de imanes:

$y=0{,}8x$

Con las bolas se obtuvieron 2 euros menos que con los llaveros:

$1{,}5y=2z-2$

Conviene empezar por la tercera, porque permite escribir $2z$ en función de $y$ y sustituirlo en la primera:

$2z=1{,}5y+2$

$x+1{,}5y+1{,}5y+2=87 \Rightarrow x+3y=85$

De la segunda ecuación se despeja $x$ en función de $y$:

$y=0{,}8x \Rightarrow x=\dfrac{y}{0{,}8}=1{,}25y$

$1{,}25y+3y=85 \Rightarrow 4{,}25y=85 \Rightarrow y=20$

$x=1{,}25\cdot 20=25;\qquad 2z=1{,}5\cdot 20+2=32 \Rightarrow z=16$

Se comprueba la recaudación: $25+1{,}5\cdot 20+2\cdot 16=25+30+32=87$.

Los niños han vendido 25 imanes, 20 bolas navideñas y 16 llaveros.