Ejercicio resuelto de Matrices y Determinantes · Matemáticas CCSS

Dada la matriz $A=\begin{pmatrix} k & 3 & 0 \\ 1 & k & 4 \\ k+3 & 8 & 4 \end{pmatrix}$, siendo k un número real, se pide:

a) Calcula para qué valores de k la matriz A posee rango 3. (1 punto)
b) Para $k=1$, calcula una matriz X que verifique la igualdad $A\,X=\begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 36 \end{pmatrix}$. (1 punto)

$\textbf{a) Calcula para qué valores de k la matriz A posee rango 3. (1 punto)}$

La matriz es cuadrada de orden 3, de modo que tiene rango 3 exactamente cuando su determinante es distinto de cero. Se calcula el determinante desarrollando por la primera fila, que tiene un cero.

$|A|=\begin{vmatrix} k & 3 & 0 \\ 1 & k & 4 \\ k+3 & 8 & 4 \end{vmatrix}=k\begin{vmatrix} k & 4 \\ 8 & 4 \end{vmatrix}-3\begin{vmatrix} 1 & 4 \\ k+3 & 4 \end{vmatrix}$

$=k(4k-32)-3\left(4-4(k+3)\right)$

$=4k^{2}-32k-3(-4k-8)=4k^{2}-32k+12k+24$

$|A|=4k^{2}-20k+24=4\left(k^{2}-5k+6\right)$

Se buscan los valores que anulan el determinante:

$k^{2}-5k+6=0 \Rightarrow k=\dfrac{5\pm\sqrt{25-24}}{2}=\dfrac{5\pm 1}{2} \Rightarrow \begin{cases} k=2 \\ k=3 \end{cases}$

Para esos dos valores el determinante se anula y el rango es menor que 3.

La matriz $A$ tiene rango 3 para todo valor real de $k$ salvo $k=2$ y $k=3$, es decir, para $k\in\mathbb{R}-\{2,3\}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{k=1}\textbf{, calcula una matriz X que verifique la igualdad } \boldsymbol{A\,X=\begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 36 \end{pmatrix}}\textbf{. (1 punto)}$

Para $k=1$ el determinante vale $|A|=4(1-2)(1-3)=8\neq 0$, luego la matriz es regular y la ecuación tiene solución única. Como $X$ es una matriz columna de tres elementos, la igualdad no es más que un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\ 4 & 8 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 11 \\ 9 \\ 36 \end{pmatrix} \Rightarrow \begin{cases} x+3y=11 \\ x+y+4z=9 \\ 4x+8y+4z=36 \end{cases}$

Se simplifica la tercera ecuación dividiéndola entre 4 y se despeja $x$ de la primera:

$x+2y+z=9;\qquad x=11-3y$

Sustituyendo en la segunda y en la tercera:

$(11-3y)+y+4z=9 \Rightarrow -2y+4z=-2 \Rightarrow y=2z+1$

$(11-3y)+2y+z=9 \Rightarrow -y+z=-2 \Rightarrow y=z+2$

Igualando las dos expresiones de $y$:

$2z+1=z+2 \Rightarrow z=1 \Rightarrow y=3 \Rightarrow x=11-9=2$

Se comprueba en las tres ecuaciones: $2+9=11$; $2+3+4=9$; $8+24+4=36$.

La matriz pedida es $X=\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$.