Ejercicio resuelto de Programación lineal · Matemáticas CCSS

Una empresa fabrica dos modelos de joyas: A y B. Para fabricar una joya del modelo A necesita 2 gramos de oro y 4 gramos de plata; para cada una del modelo B, se precisa de 4 gramos de oro y 2 gramos de plata. La disponibilidad máxima semanal es de 420 gramos de oro y de 360 gramos de plata. Si el beneficio que obtiene es de 60 euros por cada unidad de A y 80 euros por cada una de B, se pide:

a) Plantea el problema de programación lineal que permita saber cuántas joyas de cada modelo (A y B) se deben producir para maximizar el beneficio. (0,5 puntos)
b) Representa la región factible. (0,5 puntos)
c) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región. (0,5 puntos)
d) Calcula el número de joyas de cada modelo que se deben fabricar con el fin de maximizar el beneficio. ¿A cuánto ascendería este beneficio? (0,5 puntos)

$\textbf{a) Plantea el problema de programación lineal que permita saber cuántas joyas de cada modelo (A y B) se deben producir para maximizar el beneficio. (0,5 puntos)}$

Se llama $x$ al número de joyas del modelo A e $y$ al del modelo B que se fabrican cada semana. Se ordenan en una tabla los gramos de cada metal y el beneficio.

$$	$\text{Oro (g)}$	$\text{Plata (g)}$	$\text{Beneficio (euros)}$
Modelo A $(x)$	$2x$	$4x$	$60x$
Modelo B $(y)$	$4y$	$2y$	$80y$
Disponible	$420$	$360$	$$

La función objetivo, que hay que maximizar, es el beneficio semanal:

$B(x,y)=60x+80y$

Las restricciones son la disponibilidad de cada metal y la no negatividad del número de joyas:

$2x+4y\leq 420 \Rightarrow x+2y\leq 210$

$4x+2y\leq 360 \Rightarrow 2x+y\leq 180$

$x\geq 0;\qquad y\geq 0$

El problema queda planteado así:

$\text{Maximizar } B(x,y)=60x+80y \text{ sujeto a } \begin{cases} x+2y\leq 210 \\ 2x+y\leq 180 \\ x\geq 0 \\ y\geq 0 \end{cases}$

$\textbf{b) Representa la región factible. (0,5 puntos)}$

Se dibuja la recta frontera de cada restricción a partir de sus cortes con los ejes y se toma el semiplano que la cumple.

$2x+4y=420$	$4x+2y=360$
$(210,0)$	$(90,0)$
$(0,105)$	$(0,180)$

El origen cumple las dos desigualdades, de modo que los semiplanos válidos son los que lo contienen. Junto con las condiciones de no negatividad, la región factible es el cuadrilátero coloreado en azul.



$\textbf{c) Calcula las coordenadas de los vértices de dicha región. (0,5 puntos)}$

Cada vértice es el corte de dos de las rectas frontera.

$\begin{cases} x=0 \\ y=0 \end{cases} \Rightarrow O(0,0)$

$\begin{cases} y=0 \\ 2x+y=180 \end{cases} \Rightarrow 2x=180 \Rightarrow x=90 \Rightarrow A(90,0)$

$\begin{cases} x+2y=210 \\ 2x+y=180 \end{cases}$

Se multiplica la segunda ecuación por $2$ y se resta la primera:

$4x+2y=360 \Rightarrow 3x=150 \Rightarrow x=50$

$y=180-2\cdot 50=80 \Rightarrow B(50,80)$

$\begin{cases} x=0 \\ x+2y=210 \end{cases} \Rightarrow 2y=210 \Rightarrow y=105 \Rightarrow C(0,105)$

Los vértices de la región factible son $O(0,0)$, $A(90,0)$, $B(50,80)$ y $C(0,105)$.

$\textbf{d) Calcula el número de joyas de cada modelo que se deben fabricar con el fin de maximizar el beneficio. ¿A cuánto ascendería este beneficio? (0,5 puntos)}$

La región es acotada y la función objetivo es lineal, así que el máximo se alcanza en uno de los vértices. Se valora el beneficio en los cuatro.

$B(0,0)=0$

$B(90,0)=60\cdot 90+80\cdot 0=5400$

$B(50,80)=60\cdot 50+80\cdot 80=3000+6400=9400$

$B(0,105)=60\cdot 0+80\cdot 105=8400$

El máximo se alcanza en el vértice $B(50,80)$. La empresa debe fabricar 50 joyas del modelo A y 80 del modelo B a la semana, con lo que el beneficio asciende a 9400 euros.