Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Dada la función $f(x)=\dfrac{a\,x^{2}+b}{x^{3}}$, siendo a y b números reales, se pide:

a) Calcula los valores de a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto $P=(1,3)$ y que la recta tangente a esta curva en P es paralela a la recta de ecuación $y=-5x+2$. (1 punto)
b) Para $b=4$, calcula el valor de a para que la función posea un extremo relativo en $x=2$. Para este valor de a, indica si en $x=2$ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo. (1 punto)
c) Para $a=2$, calcula el valor de b para que se verifique la igualdad $\displaystyle\int_{1}^{3} x^{4}\,f(x)\,dx=12$. (1 punto)

Antes de derivar conviene escribir la función como suma de potencias, que es como se deriva con menos esfuerzo:

$f(x)=\dfrac{a\,x^{2}+b}{x^{3}}=\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{x^{3}}=a\,x^{-1}+b\,x^{-3}$

$f'(x)=-a\,x^{-2}-3b\,x^{-4}=-\dfrac{a}{x^{2}}-\dfrac{3b}{x^{4}}$

$\textbf{a) Calcula los valores de a y b sabiendo que la gráfica de f pasa por el punto } \boldsymbol{P=(1,3)}\textbf{ y que la recta tangente a esta curva en P es paralela a la recta de ecuación } \boldsymbol{y=-5x+2}\textbf{. (1 punto)}$

Las dos condiciones del enunciado dan dos ecuaciones. La primera es que el punto pertenezca a la gráfica:

$f(1)=3 \Rightarrow \dfrac{a\cdot 1^{2}+b}{1^{3}}=3 \Rightarrow a+b=3$

La segunda es que la pendiente de la tangente en $P$ coincida con la de la recta dada, porque dos rectas paralelas tienen la misma pendiente:

$f'(1)=-5 \Rightarrow -a-3b=-5 \Rightarrow a+3b=5$

Se reúnen las dos en un sistema y se resuelve por reducción, restando la primera de la segunda:

$\begin{cases} a+b=3 \\ a+3b=5 \end{cases} \Rightarrow 2b=2 \Rightarrow b=1$

$a=3-b=3-1=2$

Los valores pedidos son $a=2$ y $b=1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{b=4}\textbf{, calcula el valor de a para que la función posea un extremo relativo en } \boldsymbol{x=2}\textbf{. Para este valor de a, indica si en } \boldsymbol{x=2}\textbf{ la función alcanza un máximo o un mínimo relativo. (1 punto)}$

La condición necesaria de extremo relativo es que la derivada se anule en ese punto.

$f'(x)=-\dfrac{a}{x^{2}}-\dfrac{12}{x^{4}}$

$f'(2)=0 \Rightarrow -\dfrac{a}{4}-\dfrac{12}{16}=0 \Rightarrow -\dfrac{a}{4}=\dfrac{3}{4} \Rightarrow a=-3$

Con $a=-3$ la derivada queda

$f'(x)=\dfrac{3}{x^{2}}-\dfrac{12}{x^{4}}=\dfrac{3x^{2}-12}{x^{4}}=\dfrac{3\left(x^{2}-4\right)}{x^{4}}$

El denominador es positivo salvo en $x=0$, que no pertenece al dominio, así que el signo de la derivada es el de $x^{2}-4$.

$f'(1)=\dfrac{-9}{1}<0;\qquad f'(3)=\dfrac{15}{81}>0$



En $x=2$ la función pasa de decrecer a crecer. Se confirma con la segunda derivada:

$f''(x)=-\dfrac{6}{x^{3}}+\dfrac{48}{x^{5}} \Rightarrow f''(2)=-\dfrac{6}{8}+\dfrac{48}{32}=\dfrac{3}{4}>0$

Para $a=-3$ la función alcanza en $x=2$ un mínimo relativo.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a=2}\textbf{, calcula el valor de b para que se verifique la igualdad } \boldsymbol{\int_{1}^{3} x^{4}\,f(x)\,dx=12}\textbf{. (1 punto)}$

Se simplifica el integrando antes de integrar:

$x^{4}f(x)=x^{4}\cdot\dfrac{2x^{2}+b}{x^{3}}=x\left(2x^{2}+b\right)=2x^{3}+b\,x$

$\int_{1}^{3}\left(2x^{3}+b\,x\right)dx=\left[\dfrac{x^{4}}{2}+\dfrac{b\,x^{2}}{2}\right]_{1}^{3}$

$=\left(\dfrac{81}{2}+\dfrac{9b}{2}\right)-\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{2}\right)=40+4b$

Se iguala al valor que pide el enunciado y se despeja:

$40+4b=12 \Rightarrow 4b=-28 \Rightarrow b=-7$

El valor del parámetro para el que se cumple la igualdad es $b=-7$.