Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas CCSS · 2026

Se ha realizado un estudio sobre el comportamiento de cierta sustancia en el organismo. Su concentración en sangre (medida en mg/l) viene modelada por la función

$C(x)=\dfrac{a\,x}{x^{2}+4}, \qquad x>0$

siendo a un número real y x el tiempo, en horas, transcurrido desde su administración. Se pide:

a) Calcula el valor de a sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de 0,20 mg/l. Calcula $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} C(x)$ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan x y $C(x)$. (0,75 puntos)
b) Para $a=1$: calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo. (1,25 puntos)
c) Calcula el valor de a para que se verifique la igualdad $\displaystyle\int_{1}^{2}(x^{2}+4)\,C(x)\,dx=6$. (1 punto)

$\textbf{a) Calcula el valor de a sabiendo que la concentración de la sustancia en sangre transcurridas 4 horas es de 0,20 mg/l. Calcula } \boldsymbol{\lim_{x\to+\infty} C(x)}\textbf{ e interpreta el resultado sabiendo lo que representan x y } \boldsymbol{C(x)}\textbf{. (0,75 puntos)}$

Se impone la condición del enunciado, que es $C(4)=0{,}20$.

$C(4)=\dfrac{4a}{4^{2}+4}=\dfrac{4a}{20}=\dfrac{a}{5}$

$\dfrac{a}{5}=0{,}20 \Rightarrow a=1$

Para calcular el límite en el infinito se comparan los grados del numerador y del denominador: el del denominador es mayor, de modo que el cociente tiende a cero.

$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{x^{2}+4}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\dfrac{1}{x}}{1+\dfrac{4}{x^{2}}}=\dfrac{0}{1}=0$

El valor del parámetro es $a=1$ y el límite vale 0. Como $x$ es el tiempo transcurrido y $C(x)$ la concentración en sangre, esto significa que al pasar muchas horas desde la administración la sustancia acaba eliminándose: la concentración se aproxima tanto como se quiera a cero sin llegar a alcanzarlo. La recta $y=0$ es asíntota horizontal de la curva.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{: calcula los intervalos de tiempo en los que la concentración aumenta y aquellos en los que disminuye. Estudia si la función posee o no algún extremo relativo, y en caso afirmativo, razona si se trata de un máximo o de un mínimo. (1,25 puntos)}$

Se deriva la función aplicando la regla del cociente.

$C(x)=\dfrac{x}{x^{2}+4} \Rightarrow C'(x)=\dfrac{1\cdot\left(x^{2}+4\right)-x\cdot 2x}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$

$C'(x)=\dfrac{4-x^{2}}{\left(x^{2}+4\right)^{2}}$

El denominador es siempre positivo, así que el signo de la derivada es el del numerador.

$C'(x)=0 \Rightarrow 4-x^{2}=0 \Rightarrow x=\pm 2$

Se descarta $x=-2$ porque el tiempo transcurrido cumple $x>0$. Se estudia el signo a un lado y a otro del punto crítico:

$C'(1)=\dfrac{3}{25}>0;\qquad C'(3)=\dfrac{-5}{169}<0$



La concentración aumenta en el intervalo $(0,2)$ y disminuye en $(2,+\infty)$.

En $x=2$ la función pasa de crecer a decrecer, luego presenta un máximo relativo.

$C(2)=\dfrac{2}{2^{2}+4}=\dfrac{2}{8}=0{,}25$

La concentración aumenta durante las dos primeras horas y disminuye a partir de entonces; alcanza su valor máximo, de 0,25 mg/l, a las 2 horas de la administración.

$\textbf{c) Calcula el valor de a para que se verifique la igualdad } \boldsymbol{\int_{1}^{2}(x^{2}+4)\,C(x)\,dx=6}\textbf{. (1 punto)}$

Antes de integrar conviene simplificar el integrando, porque el factor $x^{2}+4$ se cancela con el denominador de $C(x)$:

$\left(x^{2}+4\right)C(x)=\left(x^{2}+4\right)\cdot\dfrac{a\,x}{x^{2}+4}=a\,x$

$\int_{1}^{2}a\,x\,dx=a\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{2}=a\left(\dfrac{4}{2}-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3a}{2}$

Se iguala al valor que pide el enunciado y se despeja el parámetro:

$\dfrac{3a}{2}=6 \Rightarrow 3a=12 \Rightarrow a=4$

El valor del parámetro para el que se cumple la igualdad es $a=4$.